Exercício 5 Esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\ln \left(\frac{x}{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = \ln\!\bigl(\tfrac{x}{2}+1\bigr).
O conteúdo aqui é transformação de logaritmo: vamos identificar domínio, assíntota vertical, interceptos e como a curva de \ln(x) se desloca e estica.

Passo 2

Para encontrar o domínio de f, impomos
\tfrac{x}{2} +1 > 0
que equivale a
x > -2.
Logo o domínio é \,(-2,\infty).

Passo 3

O ponto onde o argumento do log vai a zero gera assíntota vertical. Como \tfrac{x}{2}+1=0 em x=-2, existe assíntota vertical em
x=-2.

Passo 4

Reescrevendo
f(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{x}{2}+1\bigr)=\ln\!\bigl(\tfrac{x+2}{2}\bigr)=\ln(x+2)-\ln2,
vemos que é o gráfico de \ln(x) deslocado 2 unidades para a esquerda (substituição x\to x+2) e depois abaixado em \ln2 unidades (subtrair \ln2).

Passo 5

Para marcar pontos notáveis:
\xdef\temp{• }\def\temp{}% dummy
O intercepto em y (em x=0) é
f(0)=\ln\!\bigl(\tfrac{0}{2}+1\bigr)=\ln1=0,
isto é, ponto (0,0).
Para x=2:
f(2)=\ln2\approx0,693,
e para x\to-1:
f(-1)=\ln\!\bigl(\tfrac{-1}{2}+1\bigr)=\ln\tfrac12=-\ln2\approx-0,693.

Passo 6

Comportamento da curva:
quando x\to-2^+, o argumento do log tende a zero e f(x)\to-\infty;
quando x\to+\infty, f(x)\to+\infty lentamente.
A função é crescente e côncava para baixo em todo o domínio, mantendo a forma típica de \ln(x).

Resposta

O gráfico de f(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{x}{2}+1\bigr) tem domínio (-2,\infty) e assíntota vertical em x=-2. É a curva de \ln(x) deslocada 2 unidades para a esquerda e abaixada em \ln2. Passa por (0,0), por (2,\ln2) e tende a -\infty quando x\to-2^+ e a +\infty quando x\to+\infty.

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