Exercício 7. Resolva as seguintes inequações modulares:
|x^2-7 x+6| <=|2-x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular
l|x^2-7x+6r|<= |2-x|
Iremos usar a propriedade
|A|<=|B|Long<=ftrightarrow A^2<= B^2,
aplicando-a com A=x^2-7x+6 e B=2-x.

Passo 2

Apliquemos A^2<= B^2:
l(x^2-7x+6r)^2<=(2-x)^2
Subtraindo o segundo termo para formar uma única inequação:
l(x^2-7x+6r)^2-(2-x)^2<=0

Passo 3

Reconhecemos a diferença de quadrados e fatoramos:
l(x^2-7x+6r)^2-(2-x)^2 =l[(x^2-7x+6)-(2-x)r], l[(x^2-7x+6)+(2-x)r]
Simplificando cada fator:
(x^2-7x+6)-(2-x)=x^2-8x+8,
(x^2-7x+6)+(2-x)=x^2-6x+4
Logo a inequação vira
l(x^2-8x+8r)l(x^2-6x+4r)<=0

Passo 4

Calculamos as raízes de cada fator:
  1. x^2-8x+8=0
    x=8pmraiz64-322 =4pm2raiz2
  2. x^2-6x+4=0
    x=6pmraiz36-162 =3pmraiz5
Chamemos essas raízes, em ordem crescente,
alpha1=3-raiz5, alpha2=4-2raiz2, alpha3=3+raiz5, alpha4=4+2raiz2

Passo 5

Cada quadrática abre para cima, logo é negativa entre suas raízes:
  • x^2-8x+8<0 em (alpha2,alpha4).
  • x^2-6x+4<0 em (alpha1,alpha3).
Queremos o produto <=0, ou seja, regiões onde um fator é negativo e o outro positivo, incluindo zeros. Fazendo a análise de sinais, obtemos
xin[alpha1,alpha2];cup;[alpha3,alpha4]

Resposta

boxedxinl[3-raiz5,;4-2raiz2r];cup;l[3+raiz5,;4+2raiz2r]

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