Seja G um grupo. Suponhamos que
é o elemento do grupo e que
. Se
prove que:
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado fala de um grupo
com neutro
e elementos
tais que
. Em qualquer grupo vale associatividade, existência de inverso e de elemento neutro. Além disso,
implica
Queremos provar a equivalência
Passo 2
(Prova de
)
Suponha que
Suponha que
Então, usando associatividade,
Logo, se
então
.
Passo 3
(Prova de
)
Suponha agora que
Suponha agora que
Multiplicamos ambos os lados à direita por
:
Mas
, portanto
Resposta
Portanto, usando apenas as propriedades de grupo e o fato de
, mostramos que