Seja G um grupo. Suponhamos que e é o elemento do grupo e que a, b, c in G. Se c=c^-1 prove que: a b=c se e somente se a b c=e.

Passo 1

O enunciado fala de um grupo G com neutro e e elementos a,b,cin G tais que c=c^-1. Em qualquer grupo vale associatividade, existência de inverso e de elemento neutro. Além disso, c=c^-1 implica
c^2 = cc = e
Queremos provar a equivalência
ab = c Long<=ftrightarrow abc = e

Passo 2

(Prova de ab=cimplies abc=e)
Suponha que
ab = c
Então, usando associatividade,
abc = (ab),c = c,c = c^2 = e
Logo, se ab=c então abc=e.

Passo 3

(Prova de abc=eimplies ab=c)
Suponha agora que
abc = e
Multiplicamos ambos os lados à direita por c:
abccdot c = ecdot c Longrightarrow ab,(c,c) = c Longrightarrow abcdot c^2 = c
Mas c^2=e, portanto
ab = c

Resposta

Portanto, usando apenas as propriedades de grupo e o fato de c=c^-1, mostramos que
ab = c se e somente se abc = e

Exercícios relacionados