Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
f(x)=2^{x} e g(x)=5^{x}

Passo 1

O enunciado pede que se esbocem, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções f(x)=2^{x} e g(x)=5^{x}.
Informações dadas (diretamente do enunciado):
  • f(x)=2^{x}.
  • g(x)=5^{x}.
    O objetivo é desenhar as duas curvas no mesmo sistema de eixos e entender como elas se comportam (onde interceptam e como se comparam).

Passo 2

Propriedades gerais que servem para esboçar qualquer função exponencial com base maior que 1. Vou explicar cada uma devagarinho, como se estivéssemos desenhando no caderno:
  1. Domínio e imagem:
    • O domínio de ambas é todo o conjunto dos números reais: \mathbb{R}. Isso significa que se pode calcular 2^{x} e 5^{x} para qualquer x\in\mathbb{R}.
    • A imagem é o conjunto dos reais positivos: (0,\infty). Ou seja, 2^{x}>0 e 5^{x}>0 para todo x.
  2. Assíntota horizontal:
    • Para x\to -\infty, temos \lim_{x\to-\infty}2^{x}=0 e \lim_{x\to-\infty}5^{x}=0. Logo, ambas têm a mesma assíntota horizontal \;y=0\; (o eixo x é uma barreira que as curvas se aproximam mas nunca cruzam).
  3. Intercepto com o eixo y:
    • Para x=0: \;2^{0}=1 e \;5^{0}=1. Então ambas passam pelo mesmo ponto (0,1).
Expliquei o porquê: qualquer base positiva a satisfaz a^{0}=1 e a^{x}>0, e quando x é muito negativo a potência vira um número muito pequeno positivo (um recíproco grande).

Passo 3

Monotonicidade (por que são crescentes): explicação sem cálculo pesado.
Tomemos uma base a>1. Se x_{2}=x_{1}+h com h>0, então
a^{x_{2}}=a^{x_{1}+h}=a^{x_{1}}\cdot a^{h}.
Como a^{h}>1 quando a>1 e h>0, resulta a^{x_{2}}>a^{x_{1}}. Portanto qualquer exponencial com base maior que 1 é estritamente crescente. Aplicando isso a a=2 e a=5, concluímos que tanto f quanto g são crescentes em todo o domínio.

Passo 4

Pontos concretos para plotar (faça uma tabela no papel; esses são pontos fáceis e importantes para esboçar):
Para f(x)=2^{x}:
2^{-2}=\tfrac{1}{4}=0,25,\qquad 2^{-1}=\tfrac{1}{2}=0,5,\qquad 2^{0}=1,
2^{1}=2,\qquad 2^{2}=4.
Para g(x)=5^{x}:
5^{-2}=\tfrac{1}{25}=0,04,\qquad 5^{-1}=\tfrac{1}{5}=0,2,\qquad 5^{0}=1,
5^{1}=5,\qquad 5^{2}=25.
Explicando como obtive os negativos: a^{-n}=1/a^{n}. Exemplos simples: 2^{-2}=1/2^{2}=1/4; 5^{-1}=1/5.

Passo 5

Comparação entre as duas curvas (onde cada uma fica em relação à outra):
  1. Em x=0 as duas se cruzam: (0,1).
  2. Para x>0: como 5^{x} tem base maior que 2^{x}, cresce mais rápido; então 5^{x}>2^{x} para todo x>0. Ex.: em x=1 temos 5>2; em x=2 temos 25>4.
  3. Para x<0: o efeito se inverte porque estamos lidando com recíprocos: 5^{x}=1/5^{-x} e 2^{x}=1/2^{-x}. Como 5^{-x} é maior que 2^{-x} para -x>0, os recíprocos satisfazem 5^{x}<2^{x} quando x<0. Ex.: em x=-1 temos 0,2<0,5.
  4. Portanto a ordem é: para x<0 vale g(x)<f(x); em x=0 coincidem; para x>0 vale g(x)>f(x). Não há outro ponto de intersecção além de x=0. (Raciocínio rápido: se 2^{x}=5^{x} então (2/5)^{x}=1; como 2/5\ne1 a única solução é x=0.)

Passo 6

Como desenhar passo a passo no papel (um roteiro prático para a prova):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque o eixo y (vertical) e o eixo x (horizontal). Indique a assíntota horizontal desenhando levemente a linha y=0 (ou apenas lembre-se que as curvas se aproximam dela à esquerda).
  2. Coloque o ponto comum (0,1) no eixo y.
  3. No lado direito (positivos) marque os pontos:
    • Para f: (1,2) e (2,4).
    • Para g: (1,5) e (2,25).
      Note que (2,25) é bem alto; adapte a escala vertical para caber no desenho (pode usar escala não uniforme se quiser mostrar comportamento).
  4. No lado esquerdo (negativos) marque:
    • Para f: (-1,0,5) e (-2,0,25).
    • Para g: (-1,0,2) e (-2,0,04).
      Repare que para x=-2 a curva de g está bem mais próxima do eixo x (mais perto de zero) que a de f.
  5. Una suavemente os pontos de cada função com uma curva crescente que se aproxima de y=0 à esquerda e sobe para cima à direita. Evite cantos: exponenciais têm forma lisa e “virada” crescendo cada vez mais rápido para a direita. Para g a subida à direita é muito mais acentuada do que para f.

Passo 7

Observação sobre concavidade/curvatura (por que parecem “afunilar” à esquerda e “abrir” à direita):
Compare a diferença entre pontos próximos para ver que a inclinação aumenta à medida que x aumenta. Exemplo de diferenças aproximadas (diferença de y entre x=0 e x=1, e entre x=1 e x=2):
Para f:
\Delta_{0\to1} = 2-1=1,\qquad \Delta_{1\to2}=4-2=2.
Para g:
\Delta_{0\to1} = 5-1=4,\qquad \Delta_{1\to2}=25-5=20.
As diferenças crescentes mostram que a inclinação (o “subir por unidade de x”) aumenta — por isso a curva fica cada vez mais inclinada à direita. Isso caracteriza a curvatura “para cima” (convexidade) das exponenciais.

Passo 8

Dicas práticas rápidas para a prova (respire fundo — você consegue!):
  • Use uma escala vertical que mostre claramente (2,4) e (1,5) ao mesmo tempo; se for preciso, marque y até 25 para exibir (2,25) de g.
  • Se o espaço for limitado, mostre apenas até x=1 ou x=2 e indique com uma seta que a curva continua subindo muito rápido.
  • Rotule as curvas com f e g perto das porções direita das curvas para não confundir qual é qual (a curva mais íngreme à direita é g).

Resposta

Esboçar ambas as curvas com as seguintes características principais:
  • Assíntota horizontal \;y=0.
  • Intercepto comum \;(0,1).
  • Pontos para f(x)=2^{x}: (-2,0,25),(-1,0,5),(0,1),(1,2),(2,4).
  • Pontos para g(x)=5^{x}: (-2,0,04),(-1,0,2),(0,1),(1,5),(2,25).
  • Ordem entre as curvas: para x<0 vale g(x)<f(x); em x=0 g=f; para x>0 vale g(x)>f(x).
  • Forma: ambas crescentes e convexas, com g muito mais íngreme para x>0.

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