Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
e
Passo 1
O enunciado pede que se esbocem, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções
e
.
Informações dadas (diretamente do enunciado):
Informações dadas (diretamente do enunciado):
-
. -
.
O objetivo é desenhar as duas curvas no mesmo sistema de eixos e entender como elas se comportam (onde interceptam e como se comparam).
Passo 2
Propriedades gerais que servem para esboçar qualquer função exponencial com base maior que
. Vou explicar cada uma devagarinho, como se estivéssemos desenhando no caderno:
-
Domínio e imagem:
- O domínio de ambas é todo o conjunto dos números reais:
. Isso significa que se pode calcular e para qualquer . - A imagem é o conjunto dos reais positivos:
. Ou seja, e para todo .
- O domínio de ambas é todo o conjunto dos números reais:
-
Assíntota horizontal:
- Para
, temos e . Logo, ambas têm a mesma assíntota horizontal (o eixo é uma barreira que as curvas se aproximam mas nunca cruzam).
- Para
-
Intercepto com o eixo
: - Para
: e . Então ambas passam pelo mesmo ponto .
- Para
Expliquei o porquê: qualquer base positiva
satisfaz
e
, e quando
é muito negativo a potência vira um número muito pequeno positivo (um recíproco grande).
Passo 3
Monotonicidade (por que são crescentes): explicação sem cálculo pesado.
Tomemos uma base . Se
com
, então
Tomemos uma base
Como
quando
e
, resulta
. Portanto qualquer exponencial com base maior que
é estritamente crescente. Aplicando isso a
e
, concluímos que tanto
quanto
são crescentes em todo o domínio.
Passo 4
Pontos concretos para plotar (faça uma tabela no papel; esses são pontos fáceis e importantes para esboçar):
Para
:
Para
:
Explicando como obtive os negativos:
. Exemplos simples:
;
.
Passo 5
Comparação entre as duas curvas (onde cada uma fica em relação à outra):
- Em
as duas se cruzam: . - Para
: como tem base maior que , cresce mais rápido; então para todo . Ex.: em temos ; em temos . - Para
: o efeito se inverte porque estamos lidando com recíprocos: e . Como é maior que para , os recíprocos satisfazem quando . Ex.: em temos . - Portanto a ordem é: para
vale ; em coincidem; para vale . Não há outro ponto de intersecção além de . (Raciocínio rápido: se então ; como a única solução é .)
Passo 6
Como desenhar passo a passo no papel (um roteiro prático para a prova):
- Desenhe eixos
e . Marque o eixo (vertical) e o eixo (horizontal). Indique a assíntota horizontal desenhando levemente a linha (ou apenas lembre-se que as curvas se aproximam dela à esquerda). - Coloque o ponto comum
no eixo . - No lado direito (positivos) marque os pontos:
- Para
: e . - Para
: e .
Note queé bem alto; adapte a escala vertical para caber no desenho (pode usar escala não uniforme se quiser mostrar comportamento).
- Para
- No lado esquerdo (negativos) marque:
- Para
: e . - Para
: e .
Repare que paraa curva de está bem mais próxima do eixo (mais perto de zero) que a de .
- Para
- Una suavemente os pontos de cada função com uma curva crescente que se aproxima de
à esquerda e sobe para cima à direita. Evite cantos: exponenciais têm forma lisa e “virada” crescendo cada vez mais rápido para a direita. Para a subida à direita é muito mais acentuada do que para .
Passo 7
Observação sobre concavidade/curvatura (por que parecem “afunilar” à esquerda e “abrir” à direita):
Compare a diferença entre pontos próximos para ver que a inclinação aumenta à medida que aumenta. Exemplo de diferenças aproximadas (diferença de
entre
e
, e entre
e
):
Compare a diferença entre pontos próximos para ver que a inclinação aumenta à medida que
Para
:
Para
:
As diferenças crescentes mostram que a inclinação (o “subir por unidade de
”) aumenta — por isso a curva fica cada vez mais inclinada à direita. Isso caracteriza a curvatura “para cima” (convexidade) das exponenciais.
Passo 8
Dicas práticas rápidas para a prova (respire fundo — você consegue!):
- Use uma escala vertical que mostre claramente
e ao mesmo tempo; se for preciso, marque até para exibir de . - Se o espaço for limitado, mostre apenas até
ou e indique com uma seta que a curva continua subindo muito rápido. - Rotule as curvas com
e perto das porções direita das curvas para não confundir qual é qual (a curva mais íngreme à direita é ).
Resposta
Esboçar ambas as curvas com as seguintes características principais:
- Assíntota horizontal
. - Intercepto comum
. - Pontos para
: . - Pontos para
: . - Ordem entre as curvas: para
vale ; em ; para vale . - Forma: ambas crescentes e convexas, com
muito mais íngreme para .