Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
e
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá. Vou esboçar no mesmo sistema de eixos as duas funções
Informações dadas (claras e simples):
- As duas funções estão definidas para todo
. - Ambas são exponenciais com base entre
e .
Passo 2
Domínio, imagem, interseção com o eixo
e assíntota horizontal (conceitos e aplicação).
- Domínio:
para ambas. - Imagem (valores possíveis):
para ambas (pois potência de número positivo nunca dá zero ou negativo). - Interseção com o eixo
: em temos
Logo ambas passam por
.
- Assíntota horizontal: como a base está em
, ao aumentar para o valor vai para . Assim a reta é assíntota horizontal à direita.
Breve explicação do porquê: para
tem-se
e
.
Passo 3
Monotonicidade (por que as curvas são decrescentes) — uma pequena “aula”.
- Derivada de uma exponencial
é . - Aqui
e porque implica . - Como
para todo , a derivada é negativa: . Portanto cada função é estritamente decrescente em .
Passo 4
Comportamento nas extremidades (limites) — o que acontece quando vai pra
.
- Para
:
- Para
:
Isto significa que à esquerda as curvas sobem sem limite (tendem a
) e à direita aproximam-se de
.
Passo 5
Comparação entre as duas curvas: qual fica acima de qual e onde se cruzam.
- Observe que
(porque ). - Para
: se então . Portanto, para ,
logo
quando
. Em palavras: a base mais próxima de
(a de
) decai mais devagar, ficando acima.
- Para
: o comportamento se inverte (pois a potência negativa inverte a ordem), então quando . - Interseção: as funções são iguais apenas em
(pois com bases positivas distintas só coincidem em ). Logo único ponto de interseção é .
Passo 6
Valores de referência para desenhar pontos (isso é prático para o esboço).
Calcule alguns valores simples e fáceis de plotar:
Calcule alguns valores simples e fáceis de plotar:
- Para
:
- Para
:
Use esses pontos para marcar posições: note que para
os pontos de
estão acima dos de
; para
o contrário.
Passo 7
Instruções práticas passo a passo para esboçar no papel (sem calculadora).
- Desenhe eixos
horizontal e vertical. Marque o ponto . - Desenhe a assíntota horizontal
como linha tracejada na parte positiva do (a curva se aproxima dela à direita). - Plote os pontos calculados do Passo 6 para ambas as funções:
para e para . - Ligue os pontos de cada função por uma curva suave que seja estritamente decrescente, lembrando que à esquerda elas sobem rapidamente e à direita diminuem aproximando-se de
. - Represente claramente que as duas curvas se cruzam somente em
. Indique qual curva é e qual é (por exemplo, usando cores ou legendas). Lembre: para a curva de está acima; para a de está acima.
Passo 8
Resumo intuitivo (para guardar na cabeça antes da prova).
- Ambas são exponenciais decrescentes com assíntota
. - Ambas passam por
e não têm outras interseções. - Para
: . Para : . - A curva de
decai mais devagar porque é mais próxima de que .
Resposta
As duas curvas são exponenciais decrescentes com assíntota horizontal
.\nAmbas passam por
e intersectam-se somente aí.\nPara
vale
(logo
fica acima de
).\nPara
vale
(logo
fica acima de
).