Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x} e g(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá. Vou esboçar no mesmo sistema de eixos as duas funções
f(x)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{x} \qquad\text{e}\qquad g(x)=\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x}.
Informações dadas (claras e simples):
  • As duas funções estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.
  • Ambas são exponenciais com base entre 0 e 1.

Passo 2

Domínio, imagem, interseção com o eixo y e assíntota horizontal (conceitos e aplicação).
  • Domínio: \,x\in\mathbb{R} para ambas.
  • Imagem (valores possíveis): (0,\infty) para ambas (pois potência de número positivo nunca dá zero ou negativo).
  • Interseção com o eixo y: em x=0 temos
f(0)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{0}=1,\qquad g(0)=\left(\tfrac{3}{5}\right)^{0}=1.
Logo ambas passam por (0,1).
  • Assíntota horizontal: como a base está em (0,1), ao aumentar x para +\infty o valor vai para 0. Assim a reta y=0 é assíntota horizontal à direita.
Breve explicação do porquê: para 0<b<1 tem-se \lim_{x\to+\infty} b^{x}=0 e \lim_{x\to-\infty} b^{x}=+\infty.

Passo 3

Monotonicidade (por que as curvas são decrescentes) — uma pequena “aula”.
  • Derivada de uma exponencial h(x)=b^{x} é h'(x)=\ln(b)\,b^{x}.
  • Aqui \ln\!\big(\tfrac{2}{3}\big)<0 e \ln\!\big(\tfrac{3}{5}\big)<0 porque 0<b<1 implica \ln b<0.
  • Como b^{x}>0 para todo x, a derivada é negativa: h'(x)<0. Portanto cada função é estritamente decrescente em \mathbb{R}.

Passo 4

Comportamento nas extremidades (limites) — o que acontece quando vai pra \pm\infty.
  • Para x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x}=0.
  • Para x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x}=+\infty.
Isto significa que à esquerda as curvas sobem sem limite (tendem a +\infty) e à direita aproximam-se de y=0.

Passo 5

Comparação entre as duas curvas: qual fica acima de qual e onde se cruzam.
  • Observe que 0<\tfrac{3}{5}<\tfrac{2}{3}<1 (porque 0{,}6<0{,}666\ldots).
  • Para x>0: se 0<a<b<1 então a^{x}<b^{x}. Portanto, para x>0,
\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x}<\left(\tfrac{2}{3}\right)^{x},
logo g(x)<f(x) quando x>0. Em palavras: a base mais próxima de 1 (a de f) decai mais devagar, ficando acima.
  • Para x<0: o comportamento se inverte (pois a potência negativa inverte a ordem), então g(x)>f(x) quando x<0.
  • Interseção: as funções são iguais apenas em x=0 (pois b^{x} com bases positivas distintas só coincidem em x=0). Logo único ponto de interseção é (0,1).

Passo 6

Valores de referência para desenhar pontos (isso é prático para o esboço).
Calcule alguns valores simples e fáceis de plotar:
  • Para f(x)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{x}:
f(-2)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4}=2{,}25,
f(-1)=\tfrac{3}{2}=1{,}5,\qquad f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac{2}{3}\approx0{,}666\ldots,\qquad f(2)=\tfrac{4}{9}\approx0{,}444\ldots
  • Para g(x)=\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x}:
g(-2)=\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\tfrac{5}{3}\right)^{2}=\tfrac{25}{9}\approx2{,}777\ldots,
g(-1)=\tfrac{5}{3}\approx1{,}666\ldots,\qquad g(0)=1,\qquad g(1)=\tfrac{3}{5}=0{,}6,\qquad g(2)=\tfrac{9}{25}=0{,}36
Use esses pontos para marcar posições: note que para x>0 os pontos de f estão acima dos de g; para x<0 o contrário.

Passo 7

Instruções práticas passo a passo para esboçar no papel (sem calculadora).
  1. Desenhe eixos x horizontal e y vertical. Marque o ponto (0,1).
  2. Desenhe a assíntota horizontal y=0 como linha tracejada na parte positiva do x (a curva se aproxima dela à direita).
  3. Plote os pontos calculados do Passo 6 para ambas as funções: ( -2,2{,}25 ),( -1,1{,}5 ),(0,1),(1,0{,}666\ldots),(2,0{,}444\ldots ) para f e ( -2,2{,}777\ldots ),( -1,1{,}666\ldots ),(0,1),(1,0{,}6),(2,0{,}36 ) para g.
  4. Ligue os pontos de cada função por uma curva suave que seja estritamente decrescente, lembrando que à esquerda elas sobem rapidamente e à direita diminuem aproximando-se de y=0.
  5. Represente claramente que as duas curvas se cruzam somente em (0,1). Indique qual curva é f e qual é g (por exemplo, usando cores ou legendas). Lembre: para x>0 a curva de f está acima; para x<0 a de g está acima.

Passo 8

Resumo intuitivo (para guardar na cabeça antes da prova).
  • Ambas são exponenciais decrescentes com assíntota y=0.
  • Ambas passam por (0,1) e não têm outras interseções.
  • Para x>0: f(x)>g(x). Para x<0: g(x)>f(x).
  • A curva de f decai mais devagar porque \tfrac{2}{3} é mais próxima de 1 que \tfrac{3}{5}.

Resposta

As duas curvas são exponenciais decrescentes com assíntota horizontal y=0.\nAmbas passam por (0,1) e intersectam-se somente aí.\nPara x>0 vale \left(\tfrac{2}{3}\right)^{x}>\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x} (logo f fica acima de g).\nPara x<0 vale \left(\tfrac{2}{3}\right)^{x}<\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x} (logo g fica acima de f).

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