Exercício 1. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Em virtude de calcular sua área, decida se é melhor escrever uma integral em x ou y. Calcule a área através de uma integral.
y=x^2, y=x+2;

Passo 1

O enunciado pede esboçar a região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x + 2, decidir se é melhor usar uma integral em x ou em y para calcular a área e então calcular essa área. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração definida, e precisaremos encontrar os pontos de interseção e identificar as funções limites superior e inferior.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos
x^2 = x + 2
o que é equivalente a
x^2 - x - 2 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
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x = -1 ou x = 2

Passo 3

Entre x = -1 e x = 2, a diferença
(x + 2) - x^2 = -x^2 + x + 2
é positiva, então a reta y = x + 2 fica acima da parábola y = x^2. Isso indica que a região é simples quando descrita em função de x: a curva superior é y = x + 2 e a inferior é y = x^2.

Passo 4

Como as curvas estão dadas explicitamente por y = f(x), integrar em x é a escolha mais direta. A área A da região é dada por
A = integral-1^2 l[(x+2) - x^2r] , dx

Passo 5

Calculamos a primitiva:
integral (x + 2 - x^2) , dx = x^22 + 2x - x^33
Avaliar de -1 a 2:
A = [x^22 + 2x - x^33]-1^2 = (2 + 4 - 83) - (12 - 2 + 13) = 103 - l(-tfrac76r) = 103 + 76 = 276 = 92

Resposta

A = 92

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