Questão 17. Quais das seguintes funções tem um máximo ou mínimo em mathbb{R}^{2}.
z=e^{\left(-x^{2}-y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função z=e^{\left(-x^{2}-y^{2}\right)} definida em \mathbb{R}^{2} e pergunta se ela tem máximo ou mínimo em \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é z(x,y)=e^{\left(-x^{2}-y^{2}\right)}.
  • Queremos saber se existem pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} onde z atinge um máximo ou um mínimo (local e/ou global).

Passo 2

Estratégia (passos que vamos seguir, explicados de forma simples):
  • Para encontrar extremos locais, calcular as derivadas parciais e resolver \nabla z=0 (pontos críticos).
    • Breve aula: o gradiente \nabla z é o vetor das derivadas parciais \left(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\right). Pontos onde \nabla z=0 são candidatos a extremos ou pontos de sela.
  • Classificar cada ponto crítico usando a matriz Hessiana (segunda derivadas) e o teste de segunda derivada para funções de duas variáveis.
    • Breve aula: a Hessiana é a matriz
    H=\begin{pmatrix} z_{xx} & z_{xy}\\[4pt] z_{yx} & z_{yy} \end{pmatrix}.Para um ponto crítico em 2D: se \det H>0 e z_{xx}>0 então é mínimo local; se \det H>0 e z_{xx}<0 então é máximo local; se \det H<0 então é ponto de sela.
  • Depois de decidir se é máximo ou mínimo local, verificar o comportamento global (valores limites quando \|(x,y)\|\to\infty) para saber se o extremo local é também global.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (passo a passo, mostrando regras usadas).
  • Regra usada: se z=e^{u(x,y)} então \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{u}\dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Aqui u(x,y)=-x^{2}-y^{2}. Então
\dfrac{\partial u}{\partial x}=-2x,\qquad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-2y.
  • Logo as derivadas parciais são
\dfrac{\partial z}{\partial x}=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}},\qquad \dfrac{\partial z}{\partial y}=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
  • Para achar pontos críticos, resolvemos \nabla z=0, ou seja
-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}=0,\qquad -2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}=0.
  • Observação importante: e^{-x^{2}-y^{2}}>0 para todo (x,y), então as iguais ocorrem exatamente quando x=0 e y=0.
  • Conclusão: existe um único ponto crítico, em (0,0).

Passo 4

Calcular as segundas derivadas (Hessiana) e aplicar o teste de segunda derivada.
  • Primeiro calculamos z_{xx}, z_{yy}, z_{xy} com cuidado (usar derivação do produto):
    • Partindo de z_x=-2x e^{-x^{2}-y^{2}}, derivando em x:
    z_{xx} = \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-2x e^{-x^{2}-y^{2}}\big) = -2 e^{-x^{2}-y^{2}} + (-2x)\cdot\big(e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2x)\big).Simplificando: z_{xx} = \big(-2 + 4x^{2}\big) e^{-x^{2}-y^{2}}.
    • De forma análoga,
    z_{yy} = \big(-2 + 4y^{2}\big) e^{-x^{2}-y^{2}}.
    • Para a mista,
    z_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2x e^{-x^{2}-y^{2}}\big) = -2x\cdot\big(e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)\big)=4xy\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
  • Avaliando as segundas derivadas no ponto crítico (0,0) (substituir x=0,y=0 e e^{0}=1): z_{xx}(0,0)=-2,\qquad z_{yy}(0,0)=-2,\qquad z_{xy}(0,0)=0.
  • A Hessiana em (0,0) é H(0,0)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
  • Calcular \det H(0,0): \det H(0,0)=(-2)(-2)-0=4>0.
  • Como \det H(0,0)>0 e z_{xx}(0,0)=-2<0, pelo teste de segunda derivada o ponto (0,0) é um máximo local.]

Passo 5

Determinar se o máximo local em (0,0) é também máximo global e verificar existência de mínimo.
  • Avaliar z no ponto crítico: z(0,0)=e^{0}=1.
  • Observar o comportamento da função geral:
    • Para todo (x,y) tem-se -x^{2}-y^{2}\le 0, logo e^{-x^{2}-y^{2}}\le e^{0}=1. Assim z(x,y)\le 1 para todo (x,y).
    • Além disso z(x,y)>0 para todo (x,y) porque a exponencial nunca é zero: e^{-x^{2}-y^{2}}>0.
    • Quando \|(x,y)\|\to\infty (ou seja x^{2}+y^{2}\to\infty), o expoente -x^{2}-y^{2}\to -\infty e portanto
    \lim_{\|(x,y)\|\to\infty} e^{-x^{2}-y^{2}}=0.
  • Conclusões a partir dessas observações:
    • O valor máximo possível de z é 1, e esse valor é atingido em (0,0). Então (0,0) é um máximo global.
    • Quanto ao mínimo: os valores de z se aproximam de 0 arbitrariamente (pela propriedade acima), mas nunca alcançam 0 porque z>0 sempre. Logo não existe mínimo global (não há ponto em que z seja igual ao ínfimo 0).

Passo 6

Interpretação final ensinando como reconhecer isso numa prova (dicas práticas e rápidas):
  • Para funções do tipo gaussiana e^{-x^{2}-y^{2}} é quase sempre assim: máximo no centro onde o expoente é zero e tende a zero no infinito.
  • Em provas, procedimento rápido:
    1. Calcule \nabla z e resolva \nabla z=0 (a exponencial nunca zera, então os fatores polinomiais costumam ser responsáveis pelas raízes).
    2. Use a Hessiana ou compare valores para decidir se é máximo/min local.
    3. Verifique limites no infinito para saber se é global.
  • Um lembrete amigável: se a função é sempre positiva e tende a zero no infinito, não espere mínimo atingido — só um infimum.

Resposta

Máximo global em (0,0) com valor 1.
Não possui mínimo em \mathbb{R}^{2} (infimum 0, não atingido).

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