Questão 17. Quais das seguintes funções tem um máximo ou mínimo em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pergunta se ela tem máximo ou mínimo em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - Queremos saber se existem pontos
onde atinge um máximo ou um mínimo (local e/ou global).
Passo 2
Estratégia (passos que vamos seguir, explicados de forma simples):
- Para encontrar extremos locais, calcular as derivadas parciais e resolver
(pontos críticos). - Breve aula: o gradiente
é o vetor das derivadas parciais . Pontos onde são candidatos a extremos ou pontos de sela.
- Breve aula: o gradiente
- Classificar cada ponto crítico usando a matriz Hessiana (segunda derivadas) e o teste de segunda derivada para funções de duas variáveis.
- Breve aula: a Hessiana é a matriz
Para um ponto crítico em 2D: se e então é mínimo local; se e então é máximo local; se então é ponto de sela. - Depois de decidir se é máximo ou mínimo local, verificar o comportamento global (valores limites quando
) para saber se o extremo local é também global.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (passo a passo, mostrando regras usadas).
- Regra usada: se
então . - Aqui
. Então
- Logo as derivadas parciais são
- Para achar pontos críticos, resolvemos
, ou seja
- Observação importante:
para todo , então as iguais ocorrem exatamente quando e . - Conclusão: existe um único ponto crítico, em
.
Passo 4
Calcular as segundas derivadas (Hessiana) e aplicar o teste de segunda derivada.
- Primeiro calculamos
, , com cuidado (usar derivação do produto): - Partindo de
, derivando em :
Simplificando: - De forma análoga,
- Para a mista,
- Partindo de
- Avaliando as segundas derivadas no ponto crítico
(substituir e ): - A Hessiana em
é - Calcular
: - Como
e , pelo teste de segunda derivada o ponto é um máximo local.]
Passo 5
Determinar se o máximo local em
é também máximo global e verificar existência de mínimo.
- Avaliar
no ponto crítico: - Observar o comportamento da função geral:
- Para todo
tem-se , logo . Assim para todo . - Além disso
para todo porque a exponencial nunca é zero: . - Quando
(ou seja ), o expoente e portanto
- Para todo
- Conclusões a partir dessas observações:
- O valor máximo possível de
é , e esse valor é atingido em . Então é um máximo global. - Quanto ao mínimo: os valores de
se aproximam de arbitrariamente (pela propriedade acima), mas nunca alcançam porque sempre. Logo não existe mínimo global (não há ponto em que seja igual ao ínfimo ).
- O valor máximo possível de
Passo 6
Interpretação final ensinando como reconhecer isso numa prova (dicas práticas e rápidas):
- Para funções do tipo gaussiana
é quase sempre assim: máximo no centro onde o expoente é zero e tende a zero no infinito. - Em provas, procedimento rápido:
- Calcule
e resolva (a exponencial nunca zera, então os fatores polinomiais costumam ser responsáveis pelas raízes). - Use a Hessiana ou compare valores para decidir se é máximo/min local.
- Verifique limites no infinito para saber se é global.
- Calcule
- Um lembrete amigável: se a função é sempre positiva e tende a zero no infinito, não espere mínimo atingido — só um infimum.
Resposta
Máximo global em
com valor
.
Não possui mínimo em (infimum
, não atingido).
Não possui mínimo em