Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo.
integral duplaR x y e^x^2 y d A, com R=[0,1] times[0,2].)

Passo 1

O enunciado pede para esquematizar a região
R = [0,1]times[0,2]
no plano xy e calcular as duas integrais iteradas
integral0^1!l(integral0^2x,y,e^x^2y,dyr)dx e integral0^2!l(integral0^1x,y,e^x^2y,dxr)dy
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para trocar ordem de integração e técnicas de substituição em integrais simples.

Passo 2

A região R é o retângulo no primeiro quadrante com vértices (0,0), (1,0), (1,2) e (0,2). Basta traçar as retas x=0, x=1, y=0 e y=2.

Passo 3

Vamos primeiro calcular
integral0^1l(integral0^2x,y,e^x^2y,dyr)dx
Para a integral interna em y não há atalho simples, então trocamos a ordem de integração usando Fubini — mas simbolicamente continuamos aqui:
tente a substituição u=x^2y, logo du = x^2,dy e y = u/x^2. Então
integral0^2x,y,e^x^2y,dy = xintegral0^2y,e^x^2y,dy = xintegralu=0^u=2x^2ux^2e^udux^2 =1x^3integral0^2x^2u,e^u,du
E sabemos
integral u,e^u,du=(u-1)e^u+C,
de modo que, de 0 a 2x^2,
integral0^2x^2u,e^u,du =l[(2x^2-1)e^2x^2r]-l[(-1)e^0r] =(2x^2-1)e^2x^2+1
Portanto a integral interna é
(2x^2-1)e^2x^2+1x^3,
e falta integrar de x=0 a 1, o que é trabalhoso diretamente.

Passo 4

Em vez disso, calculemos
integral0^2l(integral0^1x,y,e^x^2y,dxr)dy
Aqui usamos substiuição direta na interna em x:
u=x^2yimplies du=2x,y,dx, logo
integral0^1x,y,e^x^2y,dx =12integralu=0^u=ye^u,du =12l[e^ur]0^y =e^y-12
Multiplicando pelo dy externo, obtemos
integral0^2e^y-12,dy =12integral0^2(e^y-1),dy =12l[e^y-yr]0^2 =12l((e^2-2)-(1-0)r) =e^2-32

Passo 5

Pelo Teorema de Fubini, ambas as ordens de integração devem dar o mesmo resultado. A forma mais prática foi a da integral interna em x, que nos levou diretamente a
boxede^2-32

Resposta

integral duplaRx,y,e^x^2y,dA=e^2-32

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