Exercício 1. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais iteradas abaixo.
.)
Passo 1
O enunciado pede para esquematizar a região
no plano
e calcular as duas integrais iteradas
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para trocar ordem de integração e técnicas de substituição em integrais simples.
Passo 2
A região
é o retângulo no primeiro quadrante com vértices
,
,
e
. Basta traçar as retas
,
,
e
.
Passo 3
Vamos primeiro calcular
Para a integral interna em
não há atalho simples, então trocamos a ordem de integração usando Fubini — mas simbolicamente continuamos aqui:
tente a substituição
, logo
e
. Então
E sabemos
de modo que, de
a
,
Portanto a integral interna é
e falta integrar de
a
, o que é trabalhoso diretamente.
Passo 4
Em vez disso, calculemos
Aqui usamos substiuição direta na interna em
:
, logo
Multiplicando pelo
externo, obtemos
Passo 5
Pelo Teorema de Fubini, ambas as ordens de integração devem dar o mesmo resultado. A forma mais prática foi a da integral interna em
, que nos levou diretamente a