2 Seja g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} dada por g(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y.
a) Determine os pontos críticos de g;
b) Que pontos (se existem) de \mathbb{R}^{2} são pontos de sela de g ?

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y
definida em \mathbb{R}^2. Precisamos achar (a) os pontos críticos, isto é, onde o gradiente de g se anula, e (b) identificar quais desses pontos são pontos de sela. Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2x-2, \quad \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2y-4.
Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada uma a zero:
2x-2=0\implies x=1, \quad 2y-4=0\implies y=2.
Logo existe um único ponto crítico em (1,2).

Passo 3

Para classificar esse ponto usamos a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=2, \quad \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=2, \quad \frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}=0.
Assim a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
]

Passo 4

A Hessiana H apresenta autovalores 2 e 2, ambos positivos. Isso significa que H é definida positiva em todo \mathbb{R}^2. Pelo teste de classificação de pontos críticos, um ponto onde a Hessiana é definida positiva é um mínimo local (e, neste caso, global, pois g é uma parábola elíptica).

Passo 5

Como o único ponto crítico (1,2) é um mínimo (não um ponto de sela) e não há outros pontos críticos, concluímos que não existem pontos de sela para g.

Resposta

a) O único ponto crítico é (1,2).
b) Não existem pontos de sela de g em \mathbb{R}^2.

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