2 Seja
dada por
.
a) Determine os pontos críticos de
;
b) Que pontos (se existem) de
são pontos de sela de
?
a) Determine os pontos críticos de
b) Que pontos (se existem) de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
. Precisamos achar (a) os pontos críticos, isto é, onde o gradiente de
se anula, e (b) identificar quais desses pontos são pontos de sela. Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada uma a zero:
Logo existe um único ponto crítico em
.
Passo 3
Para classificar esse ponto usamos a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
Assim a Hessiana é
]
Passo 4
A Hessiana
apresenta autovalores
e
, ambos positivos. Isso significa que
é definida positiva em todo
. Pelo teste de classificação de pontos críticos, um ponto onde a Hessiana é definida positiva é um mínimo local (e, neste caso, global, pois
é uma parábola elíptica).
Passo 5
Como o único ponto crítico
é um mínimo (não um ponto de sela) e não há outros pontos críticos, concluímos que não existem pontos de sela para
.
Resposta
a) O único ponto crítico é
.
b) Não existem pontos de sela de em
.
b) Não existem pontos de sela de