Exercício 1. Em uma escola tem 300 alunos da Agronomia e 700 alunos da Engenharia Civil. Suponha que realize, aleatoriamente, o sorteio de 2 alunos com reposição, ou seja, sorteia-se um de cada vez com reposição. Seja a V.A.D. X o número de alunos da Agronomia. Se necessário, utilizar pelo menos 4 casas decimais.
a) Apresente a tabela ou gráfico de distribuição de probabilidade.
b) Determine a E(X). Resp: 0.6 alunos da agronomia.

Passo 1

Temos uma população de 1000 alunos, sendo 300 de Agronomia e 700 de Engenharia Civil. Sorteamos 2 alunos com reposição, e definimos a variável aleatória discreta X igual ao número de alunos de Agronomia entre os dois sorteios. O conteúdo usado será a distribuição binomial, pois cada sorteio é um ensaio de Bernoulli com probabilidade fixa de “sucesso” (sair Agronomia).

Passo 2

A probabilidade de sucesso em cada sorteio é
p = 3001000 = 0,3,
e XsimBin(n=2,p=0,3). A fórmula geral é
P(X=k)=binom2k,p^k,(1-p)^2-k, k=0,1,2

Passo 3

Aplicando a fórmula para cada k:
P(X=0)=binom20(0,3)^0(0,7)^2=(0,7)^2=0,4900,
P(X=1)=binom21(0,3)^1(0,7)^1=2cdot0,3cdot0,7=0,4200,
P(X=2)=binom22(0,3)^2(0,7)^0=(0,3)^2=0,0900

Passo 4

Montamos a tabela de distribuição de probabilidade:
x P(X=x)
0 0,4900
1 0,4200
2 0,0900

Passo 5

O valor esperado de uma binomial é
E(X)=n,p=2cdot0,3=0,6

Resposta

a) Distribuição de probabilidade:
x P(X=x)
0 0,4900
1 0,4200
2 0,0900
b) E(X)=0,6 alunos da Agronomia.

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