Exercício 1 Escreva um algoritmo para o Método Iterativo de Gauss-Jacobi

Passo 1

O enunciado pede para escrever um algoritmo que implemente o Método Iterativo de Gauss–Jacobi para resolver um sistema linear A x = b.
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares. Vamos precisar da fórmula de iteração de Jacobi e de um critério de parada baseado na diferença entre duas iterações sucessivas.

Passo 2

A iteração de Jacobi atualiza cada componente isoladamente a partir da iteração anterior . A fórmula é
e a convergência costuma exigir que seja estritamente diagonal dominante ou simétrica definida positiva.

Passo 3

Estrutura geral do algoritmo:
Entrada: matriz AinR^ntimes n, vetor binR^n, tolerância tol e máximo de iterações Nmax.
Inicializa x^(0) (por exemplo zero ou outro chute).
Laço de iteração k=0,1,2,dots:
– calcula x^(k+1) nas n componentes segundo a fórmula de Jacobi;
– verifica se |x^(k+1)-x^(k)|infty<tol; em caso afirmativo, para e retorna a solução;
– caso contrário, continua até atingir Nmax.

Passo 4

Agora montamos o pseudocódigo final, seguindo a estrutura acima e usando TeX onde for necessário:

Resposta

Entrada: matriz A = (aij), vetor b, tolerância tol, máximo de iterações Nmax
Inicializar x^(0) = (0,0,ldots,0) # ou outro chute inicial
Para k de 0 até Nmax - 1
Para i de 1 até n
xi^(k+1) = 1aii cdot ( bi - sumsubstackj=1 j neq i^n aij cdot xj^(k) )
Fim Para
Se | x^(k+1) - x^(k) |infty < tol então
Retornar x^(k+1) # convergiu
Fim Se
Fim Para
Retornar “Não convergiu em Nmax iterações”

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