Previsão de Vendas
Os dados abaixo representam as vendas de um produto ao longo de alguns meses:
Mês (x) Vendas ( |l|l| hline Mês (x) & Vendas ( $y$ ) (em unidades) hline 1 (Jan) & 200 hline 3 (Mar) & 300 hline 5 (Mai) & 400 hline 7 (Jul) & 600 hline ) (em unidades)
1 (Jan) 200
3 (Mar) 300
5 (Mai) 400
7 (Jul) 600
a) Use um sistema de equações para determinar o polinômio interpolador.
b) Estime as vendas esperadas no mês 4 (Abril).

Passo 1

O enunciado dá quatro pares (x,y):
(1,200), (3,300), (5,400) e (7,600), e pede um polinômio interpolador de grau até 3 que passe por esses pontos. O conteúdo é interpolação polinomial e vamos usar um sistema linear para encontrar os coeficientes do polinômio
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Passo 2

Escrevemos as quatro equações impondo p(xi)=yi:
acdot1^3+bcdot1^2+ccdot1+d=200, acdot3^3+bcdot3^2+ccdot3+d=300, acdot5^3+bcdot5^2+ccdot5+d=400, acdot7^3+bcdot7^2+ccdot7+d=600
Isto é
a+b+c+d=200, 27a+9b+3c+d=300, 125a+25b+5c+d=400, 343a+49b+7c+d=600

Passo 3

Subtraindo a primeira equação das outras três, obtemos
26a+8b+2c=100, 98a+16b+2c=100, 218a+24b+2c=200
Depois subtraímos a primeira dessas da segunda e da segunda da terceira:
(98-26)a+(16-8)b=0implies9a+b=0, (218-98)a+(24-16)b=100implies15a+b=12,5
Daí
9a+b&=0implies b=-9a, 15a-9a&=12,5implies6a=12,5implies a=2512, b&=-9cdot2512=-754
Voltando em 26a+8b+2c=100, achamos
2c=100-26cdot2512-8l(-754r) implies c=117512
Finalmente em a+b+c+d=200,
d=200-2512+754-117512 =4754

Passo 4

Portanto o polinômio interpolador é
p(x) =2512x^3-754x^2+117512x+4754

Passo 5

Para estimar as vendas em x=4 calculamos
p(4) =2512cdot4^3-754cdot4^2+117512cdot4+4754 =343,75

Resposta

a) p(x)=2512x^3-754x^2+117512x+4754
b) Vendas estimadas em abril ( x=4): p(4)=343,75 unidades.

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