Exercício 5 Considere os sistemas lineares A x=b abaixo, resolva-os pelo Método Iterativo de Gauss-Jacobi. Tome varepsilon=0.05 (ou varepsilon=0.0001 )
b)
A=(cccc4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4) ; b=(l1 1 1 1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear A x = b pelo método iterativo de Gauss–Jacobi, com
A = 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 , b = 1111,
e tolerância varepsilon = 0,05. Vamos usar o critério da norma infinita da diferença entre iterações para parar.

Passo 2

Verificamos convergência pelo critério da diagonal estritamente dominante: em cada linha de A, o valor absoluto do elemento diagonal é maior que a soma dos demais elementos em módulo. Logo, a iteração de Jacobi converge.

Passo 3

O método de Jacobi isola cada variável na sua própria equação. As quatro fórmulas iterativas são
x1^(k+1) = 1 + x2^(k)4, x2^(k+1) = 1 + x1^(k) + x3^(k)4,
x3^(k+1) = 1 + x2^(k) + x4^(k)4, x4^(k+1) = 1 + x3^(k)4

Passo 4

Tomamos x^(0) = (0,0,0,0) e iteramos até que
|x^(k+1) - x^(k)|infty < 0,05. Obtemos:
x^(1) = l(0,25,;0,25,;0,25,;0,25r),
x^(2) = l(0,3125,;0,375,;0,375,;0,3125r),
x^(3) = l(0,34375,;0,421875,;0,421875,;0,34375r)

Passo 5

Calculamos a norma infinita da diferença entre x^(3) e x^(2):
|x^(3) - x^(2)|infty = maxl|0,34375-0,3125|,;|0,421875-0,375|r = 0,046875 < 0,05
Portanto a convergência atingiu a tolerância solicitada na 3ª iteração.

Resposta

A aproximação pelo método de Jacobi com varepsilon=0,05 é
x approx (,0,34375,;0,421875,;0,421875,;0,34375,)

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