Exercício 8. Escreva as expressões como quadrado perfeito:
Passo 1
O enunciado pede para escrever a expressão dada como um quadrado perfeito. A expressão fornecida é
.
O que se pede então é encontrar uma expressão da forma que seja igual a
.
O que se pede então é encontrar uma expressão da forma
Passo 2
Observação estratégica (sem resolver ainda): a expressão depende apenas de
. Isso sugere tratar
como uma nova variável para simplificar a visão do polinômio. Definimos
Com essa substituição a expressão original fica em função de
.
Passo 3
Reescrevendo com
obtemos
Agora o problema é escrever o quadrático
como um quadrado perfeito.
Passo 4
Lembrete didático sobre completar o quadrado (modo simples): um quadrático genérico
é um quadrado perfeito se e somente se
, porque
Aqui temos
. Calculamos metade de
e seu quadrado:
Como o termo constante
do quadrático é exatamente
, concluímos que o quadrático é um quadrado perfeito.
Passo 5
Usando a fórmula do passo anterior, escrevemos
Agora voltamos à variável original substituindo
.
Passo 6
Substituindo
obtemos a identidade desejada:
Verificação rápida (expansão) para conferir: desenvolver
dá
que coincide com a expressão original.