Exercício 8. Escreva as expressões como quadrado perfeito:
q^{6}-16 q^{3}+64

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expressão dada como um quadrado perfeito. A expressão fornecida é q^{6}-16 q^{3}+64.
O que se pede então é encontrar uma expressão da forma (\text{algo})^{2} que seja igual a q^{6}-16 q^{3}+64.

Passo 2

Observação estratégica (sem resolver ainda): a expressão depende apenas de q^{3}. Isso sugere tratar q^{3} como uma nova variável para simplificar a visão do polinômio. Definimos
x = q^{3}.
Com essa substituição a expressão original fica em função de x.

Passo 3

Reescrevendo com x obtemos
q^{6}-16 q^{3}+64 = x^{2}-16x+64.
Agora o problema é escrever o quadrático x^{2}-16x+64 como um quadrado perfeito.

Passo 4

Lembrete didático sobre completar o quadrado (modo simples): um quadrático genérico
x^{2}+bx+c
é um quadrado perfeito se e somente se c=(\tfrac{b}{2})^{2}, porque
\left(x+\tfrac{b}{2}\right)^{2}=x^{2}+bx+\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui temos b=-16. Calculamos metade de b e seu quadrado:
\tfrac{b}{2}=\tfrac{-16}{2}=-8,\qquad \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}=(-8)^{2}=64.
Como o termo constante c do quadrático é exatamente 64, concluímos que o quadrático é um quadrado perfeito.

Passo 5

Usando a fórmula do passo anterior, escrevemos
x^{2}-16x+64=\bigl(x-8\bigr)^{2}.
Agora voltamos à variável original substituindo x=q^{3}.

Passo 6

Substituindo x=q^{3} obtemos a identidade desejada:
q^{6}-16 q^{3}+64=\bigl(q^{3}-8\bigr)^{2}.
Verificação rápida (expansão) para conferir: desenvolver \bigl(q^{3}-8\bigr)^{2}
(q^{3})^{2}-2\cdot q^{3}\cdot 8 + 8^{2}=q^{6}-16q^{3}+64,
que coincide com a expressão original.

Resposta

\bigl(q^{3}-8\bigr)^{2}

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