Exercício 7. Escreva como produto da soma pela diferença:
x^{2}-9

Passo 1

O enunciado dá a expressão x^{2}-9 e pede: escrever essa expressão como produto da soma pela diferença.
Informações relevantes: a expressão é uma diferença entre duas quantidades; o número 9 pode ser escrito como um quadrado perfeito.

Passo 2

Apresentar a identidade que vamos usar (sem ainda aplicar ao caso concreto). A identidade fundamental é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Vou provar essa identidade passo a passo para você entender por que ela vale. Começamos calculando o produto do lado direito:
(a-b)(a+b).
Multiplicando termo a termo (distributiva):
(a-b)(a+b)=a\cdot a + a\cdot b - b\cdot a - b\cdot b.
Observe que a\cdot b e -b\cdot a são o mesmo termo com sinais opostos, então se cancelam:
a\cdot b - b\cdot a = 0.
Ficamos então com
a\cdot a - b\cdot b = a^{2}-b^{2},
que é exatamente o lado esquerdo. Assim a identidade está comprovada. Explicando em palavras: multiplicar a soma pela diferença elimina o termo misto ab, sobrando a diferença dos quadrados.

Passo 3

Agora aplicar a identidade ao nosso problema. Primeiro reescrevo 9 como quadrado perfeito: 9=3^{2}. Portanto
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2}.
Compare com a forma geral a^{2}-b^{2}: basta escolher a=x e b=3. Substituindo esses valores na identidade do Passo 2, obtém-se a fatoração desejada.

Passo 4

Verificação rápida (como checar no caderno durante a prova): multiplicar a fatoração obtida deve retornar à expressão original. Usando a identidade geral,
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
com a=x e b=3 dá de volta x^{2}-3^{2}=x^{2}-9. Isso confirma que a fatoração está correta. Dica prática: sempre procure escrever números como quadrados perfeitos quando possível (ex.: 16=4^{2}, 25=5^{2}) para aplicar essa técnica.

Passo 5

Mais alguns exemplos rápidos para fixar (faça igual na prova se aparecer algo parecido):
  • Para \;y^{2}-16\;, escrever 16=4^{2} e usar a=y,\;b=4.
  • Para \;4x^{2}-25\;, notar que 4x^{2}=(2x)^{2} e 25=5^{2}; usar a=2x,\;b=5.
Força aí — essa fatoração é muito comum em prova; praticar esses passos rápidos ajuda demais.

Resposta

(x-3)(x+3)

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