Exercício 6. Usando a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Simplifique:
(y+3)^{2}-(y-3)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão (y+3)^{2}-(y-3)^{2} usando a identidade dada \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão a simplificar é (y+3)^{2}-(y-3)^{2}.
  • A identidade a ser usada é \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).
  • Podemos relacionar a e b com as partes da expressão, por exemplo a=y+3 e b=y-3.

Passo 2

Aplicando a identidade \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) com a=y+3 e b=y-3, escreve-se
(y+3)^{2}-(y-3)^{2} = \bigl((y+3)+(y-3)\bigr)\bigl((y+3)-(y-3)\bigr).
Aqui apenas substituí a e b e reescrevi a diferença de quadrados como um produto de soma e diferença.

Passo 3

Calculemos as duas parcelas separadamente. Primeiro a soma:
(y+3)+(y-3) = y+3+y-3.
Agora simplifica-se somando termos semelhantes: os +3 e -3 se cancelam, restando apenas as partes com y:
y+3+y-3 = y+y = 2y.

Passo 4

Agora a diferença:
(y+3)-(y-3) = y+3-y+3.
Ao simplificar, os termos y e -y se cancelam, sobrando apenas os constantes:
y+3-y+3 = 3+3 = 6.

Passo 5

Substituindo os resultados das parcelas na expressão fatorada do Passo 2, obtemos
(y+3)^{2}-(y-3)^{2} = (2y)(6).
Isto usa a propriedade distributiva/associativa da multiplicação sobre adição para juntar os termos já calculados.

Passo 6

Breve nota didática sobre por que a identidade funciona (útil para a prova): ao desenvolver (a+b)(a-b) por FOIL (primeiro, externo, interno, último),
(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
os termos -ab e +ab se cancelam, sobrando a^{2}-b^{2}. Isso é exatamente a identidade usada acima.

Resposta

12y

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