Exercício 4 - Uma esfera não condutora de raio R=0,1 \mathrm{~m} carrega uma carga volumétrica uniforme com densidade de carga \rho=2 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{3}. A intensidade do campo elétrico em r=2 R é 1883 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Encontre a intensidade do campo elétrico em r=0.5 R.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não condutora de raio R=0,1\,\mathrm{m} com densidade volumétrica uniforme \rho=2\,\mathrm{nC/m^3}. Foi dada a intensidade do campo elétrico em
E(2R)=1883\,\mathrm{N/C},
e pede-se E(0{,}5R). Trata-se de um problema de simetria esférica, resolvido pela Lei de Gauss.

Passo 2

Para r>R, toda a carga Q da esfera está dentro da superfície gaussiana e
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.

Passo 3

Para r<R, a carga interna até o raio r é proporcional a (r/R)^3, i.e.
Q_{\rm int}=Q\Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^3,
logo pela Lei de Gauss
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q_{\rm int}}{r^2} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,(r/R)^3}{r^2} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{R^3}\;r.

Passo 4

Tomando a razão entre E em r=0{,}5R e em r=2R, obtemos
\frac{E(0{,}5R)}{E(2R)} =\frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R^3}(0{,}5R)}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{(2R)^2}} =4\,\frac{0{,}5R}{R} =2.

Passo 5

Portanto
E(0{,}5R)=2\,E(2R)=2\times1883=3766\,\mathrm{N/C}.

Resposta

3766\,\mathrm{N/C}

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