Exercício 7. Resolva cada um dos sistemas por eliminação de Gauss.
l5 x-2 y+6 z=0 -2 x+y+3 z=1

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas
5x - 2y + 6z = 0, -2x + y + 3z = 1,
e pede para resolver por eliminação de Gauss. Aqui o conteúdo é transformação em matriz aumentada, uso de pivôs para zerar incógnitas em outras linhas e reconhecimento de variáveis livres quando há menos equações que incógnitas. Vamos implementar isso passo a passo.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 5 & -2 & 6 & 0 -2 & 1 & 3 & 1 ]
Cada linha corresponde a uma equação, e as colunas são, respectivamente, os coeficientes de x, y, z e o termo independente.

Passo 3

Escolhemos 5 como pivô na primeira linha e vamos eliminar x da segunda linha. Para isso, somamos tfrac25 vezes a linha 1 à linha 2:
L2 L2 + 25,L1
Calculando cada entrada da nova linha 2:
coeficiente de x: -2 + tfrac25cdot5 = 0,
coeficiente de y: 1 + tfrac25cdot(-2) = 1 - tfrac45 = tfrac15,
coeficiente de z: 3 + tfrac25cdot6 = 3 + tfrac125 = tfrac275,
termo independente: 1 + tfrac25cdot0 = 1.
A matriz fica
[ccc|c 5 & -2 & 6 & 0 0 & tfrac15 & tfrac275 & 1 ]

Passo 4

Da segunda linha obtemos uma equação só em y e z:
tfrac15y + tfrac275z = 1
Multiplicando ambos os lados por 5 vem
y + 27z = 5 Longrightarrow y = 5 - 27z

Passo 5

Substituímos y = 5 - 27z na primeira equação original 5x - 2y + 6z = 0:
5x - 2(5 - 27z) + 6z = 0 Longrightarrow 5x -10 +54z +6z = 0 Longrightarrow 5x +60z = 10
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x = 2 - 12z

Passo 6

Como temos menos equações que incógnitas, z é variável livre. Denotamos
z = t, tinR,
e assim
x = 2 - 12t, y = 5 - 27t, z = t

Resposta

A solução geral é
l(x,y,zr) = l(2 - 12t,;5 - 27t,;tr), tinR

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