Exercício 1

Estabeleça para quais valores do parâmetro k in R a família (1,0, k),(2,1,1),(1,1,2) subset R^3 é linearmente independente.

Passo 1

Neste exercício temos a família de vetores (1,0,k),(2,1,1),(1,1,2)) em R^3. O conteúdo é independência linear de vetores e vamos usar a ideia de que, em R^3, três vetores são independentes se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.

Passo 2

Organizamos os vetores como linhas de uma matriz 3times3:
A= 1 & 0 & k 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2
Pela teoria, a família é independente se det(A)neq0.

Passo 3

Calculamos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A)=1cdot det1 & 1 1 & 2-0cdotdet(dots)+kcdot(-1)^1+3det2 & 1 1 & 1
Os menores determinantes são
det1 & 1 1 & 2=1cdot2-1cdot1=1,
det2 & 1 1 & 1=2cdot1-1cdot1=1
Como (-1)^1+3=1), segue
det(A)=1cdot1 + kcdot1 =1+k

Passo 4

Para ter independência linear, precisamos de det(A)neq0. Logo,
1+kneq0 Longrightarrow kneq-1

Resposta

A família é linearmente independente para todo kinR com kneq-1.

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