Exercício 2

Estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor (3,2,2) in R^3 é combinação linear da família (1,0,0),(1,1, k),(1, k, 1).

Passo 1

O exercício pede para determinar para quais valores de kinR o vetor (3,2,2) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,0,0), (1,1,k) e (1,k,1). Este é um problema de sistemas lineares, pois vamos atribuir escalares a,b,c para encontrar essa representação.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear e igualar coordenadas. Procuramos a,b,c tais que
a(1,0,0) + b(1,1,k) + c(1,k,1) = (3,2,2)
Isso gera o sistema de equações:
a + b + c = 3, b + k c = 2, k b + c = 2

Passo 3

Para determinar
O determinante é , há solução única por Cramer:
Então
Logo, para existe solução única e o vetor está no span.

Passo 4

No caso k = 1, temos De<a = 0 e as duas equações se reduzem a
b + c = 2
Isso admite infinitas soluções para b,c. Em particular a = 3 - (b+c) = 1. Portanto, existe representação e o vetor está no span.

Passo 5

No caso k = -1, também De<a = 0, mas as equações viram
b - c = 2,
-(b - c) = 2 Long<=ftrightarrow b - c = -2,
que é contraditório. Não há solução, logo o vetor não pertence ao span quando k = -1.

Resposta

k in Rsetminus-1

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