Estabeleça para quais valores do parâmetro o vetor é combinação linear da família .
Passo 1
O exercício pede para determinar para quais valores de o vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores , e . Este é um problema de sistemas lineares, pois vamos atribuir escalares para encontrar essa representação.
Passo 2
Vamos escrever a combinação linear e igualar coordenadas. Procuramos tais que
Isso gera o sistema de equações:
Passo 3
Para determinar
O determinante é , há solução única por Cramer:
Então
Logo, para existe solução única e o vetor está no span.
Passo 4
No caso k = 1, temos De<a = 0 e as duas equações se reduzem a
b + c = 2
Isso admite infinitas soluções para b,c. Em particular a = 3 - (b+c) = 1. Portanto, existe representação e o vetor está no span.
Passo 5
No caso k = -1, também De<a = 0, mas as equações viram
b - c = 2,
-(b - c) = 2 Long<=ftrightarrow b - c = -2,
que é contraditório. Não há solução, logo o vetor não pertence ao span quando k = -1.