Exercício 3 Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estimar por cima e por baixo
\int_{0}^{1} \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx
sem calcular exatamente. O conteúdo principal é usar desigualdades para comparar a função integranda com funções mais simples cujas integrais são conhecidas.

Passo 2

Para x\in[0,1] temos
1 \;\le\; 1 + x^{2} \;\le\; 2
Logo, invertendo a desigualdade (o inverso preserva a ordem apenas porque todos os termos são positivos):
1 \;\ge\; \frac{1}{1+x^{2}} \;\ge\; \tfrac12.
Multiplicando por 2x^{2}\ge0 obtém-se
2x^{2} \;\ge\; \frac{2x^{2}}{1+x^{2}} \;\ge\; x^{2}.

Passo 3

Agora integramos cada parte em [0,1]:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx \;\le\; \int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx \;\le\; \int_{0}^{1}2x^{2}\,dx.
Como
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{1}{3} \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3},
seguem-se as estimativas desejadas.

Resposta

\frac{1}{3} \;\le\; \int_{0}^{1}\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx \;\le\; \frac{2}{3}.

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