Exercício 5. No seguinte S E L, determine todos os valores positivos de k para os quais temos certeza que os métodos iterativos Jacobí e Gauss-Seidel convergem.
r k x1+3 x2+x3=1 k x1+6 x2+x3=2 x1+6 x2+8 x3=3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
k x1+3 x2+x3=1, k x1+6 x2+x3=2, x1+6 x2+8 x3=3,
e pergunta para quais k>0 os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel convergem. Vamos usar o critério suficiente de convergência baseado em dominância diagonal estrita por linhas.

Passo 2

Seja A a matriz dos coeficientes. Para cada linha i de A exigimos
|aii|>sumjneq i|aij|
– Linha 1: |k|>|3|+|1|implies k>4.
– Linha 2: |6|>|k|+|1|implies 6>k+1implies k<5.
– Linha 3: |8|>|1|+|6|implies 8>7, sempre verdadeiro.

Passo 3

Da união das condições obtemos
4<k<5
Para k nesse intervalo a matriz A é estritamente diagonal dominante por linhas, de modo que ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) convergem.

Resposta

4<k<5

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