Exercício 6 Sejam
uma solução de
e
uma solução de
Mostre que
também é solução de
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas soluções, uma homogênea e outra particular, de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Queremos provar que a soma dessas soluções também satisfaz a equação não‐homogênea.
Passo 2
Vamos usar a definição de derivada da soma. Seja
Então, por linearidade da derivada, temos
Passo 3
Agora substituímos em
:
Reagrupando termos, isso fica
Passo 4
Pela hipótese,
satisfaz
e
satisfaz
. Logo,
Passo 5
Portanto,
o que mostra exatamente que
Resposta
y(t)=y_1(t)+y_2(t) é solução de y’(t)+p(t)y(t)=g(t).