Exercício 6 Sejam y1(t) uma solução de y^prime(t)+p(t) y(t)=0 e y2(t) uma solução de
y^prime(t)+p(t) y(t)=g(t)
Mostre que y(t)=y1(t)+y2(t) também é solução de y^prime(t)+p(t) y(t)=g(t).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas soluções, uma homogênea e outra particular, de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Queremos provar que a soma dessas soluções também satisfaz a equação não‐homogênea.

Passo 2

Vamos usar a definição de derivada da soma. Seja
y(t)=y1(t)+y2(t)
Então, por linearidade da derivada, temos
y'(t)=y1'(t)+y2'(t)

Passo 3

Agora substituímos em y'+p(t)y:
y'(t)+p(t)y(t)=l(y1'(t)+y2'(t)r)+p(t)l(y1(t)+y2(t)r)
Reagrupando termos, isso fica
l(y1'(t)+p(t)y1(t)r)+l(y2'(t)+p(t)y2(t)r)

Passo 4

Pela hipótese, y1 satisfaz y1'+p(t)y1=0 e y2 satisfaz y2'+p(t)y2=g(t). Logo,
l(y1'(t)+p(t)y1(t)r)=0el(y2'(t)+p(t)y2(t)r)=g(t)

Passo 5

Portanto,
y'(t)+p(t)y(t)=0+g(t)=g(t),
o que mostra exatamente que y(t)=y1(t)+y2(t) é solução de y'+p(t)y=g(t).

Resposta

y(t)=y_1(t)+y_2(t) é solução de y’(t)+p(t)y(t)=g(t).

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