Exercício 4. Estude a continuidade das funções abaixo.
g: R R dada por
g(x)=sin (x), x in R

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
gcolon RtoR, g(x)=sin(x)
O conteúdo é continuidade de funções elementares. Para isso, vamos verificar, para cada ponto ainR, se
limxto ag(x)=g(a)

Passo 2

Recordando a definição: a função g é contínua em a se
limxto ag(x)existe e é igual a g(a) é
No nosso caso, precisamos mostrar que
limxto asin(x)=sin(a)

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
sin(x)-sin(a) =2cos!l(x+a2r),sin!l(x-a2r)
Então, em valor absoluto,
l|sin(x)-sin(a)r| =2l|cos!l(tfracx+a2r)r|;l|sin!l(tfracx-a2r)r| <= 2cdot1cdotl|sin!l(tfracx-a2r)r| <=2cdotl|tfracx-a2r| =|x-a|
Como limxto a|x-a|=0, concluímos
limxto asin(x)-sin(a)=0 Longrightarrow limxto asin(x)=sin(a)

Passo 4

Como para todo a vale limxto asin(x)=sin(a), segue que g é contínua em todo ponto de R.

Resposta

A função g(x)=sin(x) é contínua para todo xinR.

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