- Prove que quaisquer que sejam os reais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função cubo é estritamente crescente em
, ou seja, provar que quaisquer que sejam os reais
e
, se
então
Para isso vamos usar a fatoração da diferença de cubos e analisar o sinal de cada fator.
Passo 2
Começamos fatorando a diferença
. Sabemos que
Passo 3
Como assumimos
, temos claramente
Falta ver que
Note que
que é soma de quadrados e, portanto, estritamente positiva.
Passo 4
Portanto o produto
é positivo, o que implica
Resposta
Assim, fica provado que, para quaisquer reais
e
,
implica
.