1. Prove que quaisquer que sejam os reais x e y, x<y Rightarrow x^3<y^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função cubo é estritamente crescente em R, ou seja, provar que quaisquer que sejam os reais x e y, se
x < y
então
x^3 < y^3
Para isso vamos usar a fatoração da diferença de cubos e analisar o sinal de cada fator.

Passo 2

Começamos fatorando a diferença y^3 - x^3. Sabemos que
y^3 - x^3 = (y - x),(y^2 + y,x + x^2)

Passo 3

Como assumimos x < y, temos claramente
y - x > 0
Falta ver que
y^2 + y,x + x^2 > 0
Note que
y^2 + y,x + x^2 = l(x + tfracy2r)^2 + tfrac34,y^2,
que é soma de quadrados e, portanto, estritamente positiva.

Passo 4

Portanto o produto
(y - x),(y^2 + y,x + x^2)
é positivo, o que implica
y^3 - x^3 > 0 Longrightarrow x^3 < y^3

Resposta

Assim, fica provado que, para quaisquer reais x e y, x<y implica x^3<y^3.

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