Resolva as inequações.
|x+1|<|2 x-1|

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
lvert x+1rvert < lvert 2x-1rvert
que é um problema de valor absoluto. Para enfrentar esse tipo de inequação, vamos usar a propriedade
lvert Arvert < lvert Brvert ;Long<=ftrightarrow; A^2 < B^2,
obtendo assim uma inequação polinomial mais familiar.

Passo 2

Aplicando a propriedade de quadrados, escrevemos
(x+1)^2 < (2x-1)^2

Passo 3

Expandindo ambos os lados e levando tudo para o primeiro membro, temos
x^2 + 2x + 1 < 4x^2 - 4x + 1
x^2 + 2x + 1 - 4x^2 + 4x - 1 < 0
-3x^2 + 6x < 0

Passo 4

Para resolver
-3x^2 + 6x < 0
multiplicamos por -1 (invertendo o sinal da inequação) e fatoramos:
3x^2 - 6x > 0 Longrightarrow 3x(x-2)>0 Longrightarrow x(x-2)>0
Analisando o sinal de x(x-2), vemos que ele é positivo quando x<0 ou x>2.

Passo 5

Logo, a solução da inequação original é
xin(-infty,0)cup(2,infty)

Resposta

(-infty,0)cup(2,infty)

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