Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
\frac{\sin 5 n}{n+3}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n=\frac{\sin 5n}{n+3}.
Informações dadas:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N} (os inteiros positivos).
  • O numerador é \sin 5n.
  • O denominador é n+3, que cresce sem limite quando n\to\infty.
    O que se pede: determinar se \{a_n\} converge quando n\to\infty e, em caso afirmativo, encontrar o limite.

Passo 2

Lembrete útil (fato básico que vou usar): para qualquer número real x vale
-1 \le \sin x \le 1.
Isto é, a função seno é sempre limitada entre -1 e 1. Em particular, para x=5n obtemos
-1 \le \sin(5n) \le 1\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Dividindo a desigualdade do passo anterior por n+3 (note que n+3>0 para todo n\in\mathbb{N}, então a desigualdade mantém o sentido), obtemos
-\frac{1}{n+3} \le \frac{\sin(5n)}{n+3} \le \frac{1}{n+3}.
Ou seja, a sequência a_n está “espremida” entre as duas sequências -\dfrac{1}{n+3} e \dfrac{1}{n+3}.

Passo 4

Calcular os limites das sequências que servem de limite inferior e superior.
Para a sequência \dfrac{1}{n+3} temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+3}=0,
porque o denominador tende a infinito e o recíproco tende a zero. Pelo mesmo motivo
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n+3}\right)=0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem): se x_n\le y_n\le z_n para todo n a partir de certo ponto e \lim x_n=\lim z_n=L, então \lim y_n=L. Aqui temos
-\frac{1}{n+3}\le a_n\le \frac{1}{n+3}
e ambos os limites das extremas são 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 6

Prova \varepsilon N (para ficar totalmente rigoroso): seja \varepsilon>0. Como |\sin(5n)|\le 1 segue que
\left|\frac{\sin(5n)}{n+3}\right|\le \frac{1}{n+3}.
Escolha N\in\mathbb{N} tal que N+3>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\lceil 1/\varepsilon\rceil funciona). Então, para todo n\ge N,
\left|\frac{\sin(5n)}{n+3}\right|\le \frac{1}{n+3}\le \frac{1}{N+3}<\varepsilon.
Isto mostra que para todo \varepsilon>0 existe N tal que |a_n-0|<\varepsilon para todo n\ge N, ou seja \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 7

Comentário final e intuição: a oscilação do seno (numerador) fica limitada entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem parar; portanto as oscilações são cada vez “divididas por um número grande” e a sequência tende a zero. Esse é um padrão comum: se b_n é limitada e c_n\to\infty, então b_n/c_n\to 0. Exemplos parecidos: \dfrac{\sin n}{n}\to 0, \dfrac{\cos n}{n+5}\to 0, etc.

Resposta

A sequência converge para 0.

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