y = 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots d_{k}d_{k+1}\ldots \times 10^{n},
onde cada d_j é um dígito decimal (ou seja, d_j\in\{0,1,\dots,9\}) e, por normalização, d_1\neq 0 (então d_1\in\{1,\dots,9\}).
A operação de máquina f usa apenas os k primeiros dígitos da mantissa e faz truncamento simples (chop). Logo f(y) conserva d_1,\dots,d_k e elimina os dígitos a partir de d_{k+1}.
A pergunta: mostrar que a erro relativo absoluto satisfaz
\left|\frac{y-f(y)}{y}\right| \le 10^{-k+1}.
Passo 2
Escrever y e f(y) como somas decimais (isso deixa as contas limpíssimas).
A expansão decimal dá
y = 10^{n}\sum_{j=1}^{\infty} d_{j}10^{-j}.
Como f trunca após k dígitos, temos
f(y) = 10^{n}\sum_{j=1}^{k} d_{j}10^{-j}.
Passo 3
Calcular a diferença (o erro de truncamento) como a “cauda” da soma:
y-f(y)=10^{n}\sum_{j=k+1}^{\infty} d_{j}10^{-j}.
Essa expressão diz: o erro é exatamente o valor dos dígitos que foram cortados, multiplicado por 10^{n}.
Passo 4
Fazer um majorante (limite superior) para o numerador usando que cada dígito vale no máximo 9. Temos
Agora precisamos de uma cota inferior para |y| (o denominador do erro relativo). Pela normalização da mantissa, d_1\ge 1, então a parte fracionária (mantissa) é pelo menos 0.1. Assim
Isso é exatamente o que se pedia. Intuição: o erro absoluto é no máximo 10^{n-k} (porque os dígitos truncados não podem somar mais que isso) e o número representado tem pelo menos 10^{n-1} (porque d_1\ge1), daí surge o fator 10^{-k+1}.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: seja y=0.123456\ldots\times 10^{2} e k=3. Então f(y)=0.123\times10^{2}. O erro absoluto é menor que 10^{2-3}=10^{-1} e |y|\ge 10^{2-1}=10, logo o erro relativo é \le 10^{-1}/10 = 10^{-2}=10^{-k+1}. Funciona conforme a desigualdade demonstrada.