Se k dígitos decimais e truncamento simples são usados para a representação de máquina de
y=0 . d_{1} d_{2} d_{3} \ldots d_{k} d_{k+1} \ldots \times 10^{n}
mostre que
\left|\frac{y-f(y)}{y}\right| \leqslant 10^{-k+1}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Foi dada a representação decimal normalizada
y = 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots d_{k}d_{k+1}\ldots \times 10^{n},
onde cada d_j é um dígito decimal (ou seja, d_j\in\{0,1,\dots,9\}) e, por normalização, d_1\neq 0 (então d_1\in\{1,\dots,9\}).
  • A operação de máquina f usa apenas os k primeiros dígitos da mantissa e faz truncamento simples (chop). Logo f(y) conserva d_1,\dots,d_k e elimina os dígitos a partir de d_{k+1}.
  • A pergunta: mostrar que a erro relativo absoluto satisfaz
\left|\frac{y-f(y)}{y}\right| \le 10^{-k+1}.

Passo 2

Escrever y e f(y) como somas decimais (isso deixa as contas limpíssimas).
A expansão decimal dá
y = 10^{n}\sum_{j=1}^{\infty} d_{j}10^{-j}.
Como f trunca após k dígitos, temos
f(y) = 10^{n}\sum_{j=1}^{k} d_{j}10^{-j}.

Passo 3

Calcular a diferença (o erro de truncamento) como a “cauda” da soma:
y-f(y)=10^{n}\sum_{j=k+1}^{\infty} d_{j}10^{-j}.
Essa expressão diz: o erro é exatamente o valor dos dígitos que foram cortados, multiplicado por 10^{n}.

Passo 4

Fazer um majorante (limite superior) para o numerador usando que cada dígito vale no máximo 9. Temos
\left|y-f(y)\right|\le 10^{n}\sum_{j=k+1}^{\infty} 9\cdot 10^{-j} =9\cdot 10^{n}\sum_{j=k+1}^{\infty}10^{-j}.
Agora somamos a série geométrica. Para j\ge k+1,
\sum_{j=k+1}^{\infty}10^{-j}=10^{-(k+1)}\sum_{m=0}^{\infty}10^{-m}=10^{-(k+1)}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{10}}.
Como 1-\tfrac{1}{10}=\tfrac{9}{10}, isso vale
\sum_{j=k+1}^{\infty}10^{-j}=10^{-(k+1)}\cdot\frac{10}{9}=10^{-k}.
Substituindo de volta,
\left|y-f(y)\right|\le 9\cdot 10^{n}\cdot 10^{-k}=10^{n-k}.

Passo 5

Agora precisamos de uma cota inferior para |y| (o denominador do erro relativo). Pela normalização da mantissa, d_1\ge 1, então a parte fracionária (mantissa) é pelo menos 0.1. Assim
|y| = 10^{n}\sum_{j=1}^{\infty} d_{j}10^{-j} \ge 10^{n}\cdot 1\cdot 10^{-1}=10^{n-1}.
Portanto |y|\ge 10^{n-1}.

Passo 6

Combinar as duas cotas para obter a cota do erro relativo:
\left|\frac{y-f(y)}{y}\right| \le \frac{10^{n-k}}{10^{n-1}} = 10^{-k+1}.
Isso é exatamente o que se pedia. Intuição: o erro absoluto é no máximo 10^{n-k} (porque os dígitos truncados não podem somar mais que isso) e o número representado tem pelo menos 10^{n-1} (porque d_1\ge1), daí surge o fator 10^{-k+1}.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: seja y=0.123456\ldots\times 10^{2} e k=3. Então f(y)=0.123\times10^{2}. O erro absoluto é menor que 10^{2-3}=10^{-1} e |y|\ge 10^{2-1}=10, logo o erro relativo é \le 10^{-1}/10 = 10^{-2}=10^{-k+1}. Funciona conforme a desigualdade demonstrada.

Resposta

\left|\frac{y-f(y)}{y}\right| \le 10^{-k+1}

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