Seja f(x)=5 x^{5}+x^{4}-3 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1.
Calcule f(1.1) com 3 dígitos arredondados utilizando a técnica aninhada.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f(x)=5x^{5}+x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-2x+1 e pede para calcular f(1,1) usando a técnica aninhada (Horner) e apresentar o resultado com 3 dígitos arredondados.
Vou interpretar “3 dígitos arredondados” como arredondamento com 3 casas decimais (isto é, até os milésimos), que é a interpretação mais comum em cálculos numéricos quando não se especifica “algarismos significativos”. Se você quiser algarismos significativos em vez de casas decimais, me diga depois; aqui sigo com 3 casas decimais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ponto onde avaliar: x=1,1.
  • Coeficientes do polinômio, do termo de maior para o termo constante: 5,\;1,\;-3,\;2,\;-2,\;1.
  • Técnica exigida: técnica aninhada (Horner).

Passo 2

O que é a técnica aninhada (Horner) e por que usar?
A técnica aninhada transforma um polinômio
f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}
na forma aninhada
f(x)=\big(\cdots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \cdots + a_1\big)x + a_0.
Para avaliar em um ponto x calcula-se sequencialmente
b_n = a_n,\qquad b_{k-1} = b_k\cdot x + a_{k-1}
para k=n,n-1,\dots,1. No final b_0=f(x). Vantagens: menos multiplicações e somas, e é fácil de executar passo a passo sem erros. Cada b_k é o valor parcial acumulado até o coeficiente a_k.

Passo 3

Identificar os coeficientes e o valor de x. Do polinômio:
a_5=5,\quad a_4=1,\quad a_3=-3,\quad a_2=2,\quad a_1=-2,\quad a_0=1.
Valor onde avaliar: x=1{,}1.

Passo 4

Aplicar Horner passo a passo. Começa-se com b_5=a_5 e segue-se descendo os índices.
b_5 = a_5 = 5.
Calcule b_4 = b_5\cdot x + a_4:
b_4 = 5\cdot 1{,}1 + 1 = 5{,}5 + 1 = 6{,}5.

Passo 5

Calcule b_3 = b_4\cdot x + a_3:
b_3 = 6{,}5\cdot 1{,}1 + (-3) = 7{,}15 - 3 = 4{,}15.

Passo 6

Calcule b_2 = b_3\cdot x + a_2:
b_2 = 4{,}15\cdot 1{,}1 + 2 = 4{,}565 + 2 = 6{,}565.

Passo 7

Calcule b_1 = b_2\cdot x + a_1:
b_1 = 6{,}565\cdot 1{,}1 + (-2) = 7{,}2215 - 2 = 5{,}2215.

Passo 8

Calcule b_0 = b_1\cdot x + a_0, que é f(1{,}1):
b_0 = 5{,}2215\cdot 1{,}1 + 1 = 5{,}74365 + 1 = 6{,}74365.
Portanto o valor exato (com a precisão dos produtos que fizemos) é f(1{,}1)=6{,}74365.

Passo 9

Arredondamento para 3 casas decimais (milésimos): tomar f(1{,}1)=6{,}74365. A terceira casa decimal é o algarismo na posição dos milésimos (aqui o terceiro decimal é o 3 de 0{,}743), e o próximo algarismo (o quarto decimal) é 6. Pelo critério usual de arredondamento, como o próximo algarismo é \ge 5, aumenta-se a terceira casa decimal em 1:
6{,}74365 \approx 6{,}744 \quad\text{(arredondado para 3 casas decimais).}

Resposta

6{,}744

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