Questão 5 - Saindo de uma curva, o maquinista de um trem rápido, movendo-se a 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, avista, a 0,5 \mathrm{~km} à sua frente, um trem de carga que anda com velocidade constante, no mesmo trilho e no mesmo sentido. O maquinista do trem rápido freia e consegue evitar a colisão. Supondo-se o movimento do trem rápido uniformemente desacelerado, ele precisaria de 2,0 \mathrm{~km} para parar.
a) Esboce um gráfico S \times t para os dois trens na situação de “quase-colisão”;
b) qual era a velocidade mínima do trem de carga?;

Passo 1

O enunciado descreve dois trens no mesmo trilho e mesmo sentido. O trem rápido parte com velocidade inicial \,100\text{ km/h}, vê o trem de carga a 0{,}5\text{ km} à sua frente e freia uniformemente, parando em 2{,}0\text{ km}. Vamos usar as equações de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) para o trem rápido e de movimento retilíneo uniforme (MRU) para o trem de carga, a fim de:
  1. calcular a desaceleração e o tempo de frenagem do trem rápido;
  2. impor a condição de “quase-colisão” (posições iguais no instante em que o rápido pára) para achar a velocidade mínima do trem de carga;
  3. esboçar o gráfico posição s versus tempo t nessa situação.

Passo 2

A desaceleração \,a do trem rápido satisfaz
v_0^2 = 2\,a\,d_{\rm stop},
onde v_0=100\text{ km/h} e d_{\rm stop}=2{,}0\text{ km}. Assim,
a = \frac{v_0^2}{2\,d_{\rm stop}} = \frac{(100)^2}{2\cdot2{,}0} = \frac{10000}{4} =2500\text{ km/h}^2.

Passo 3

O tempo de parada do trem rápido é
t_{\rm stop} = \frac{v_0}{a} = \frac{100}{2500} =0{,}04\text{ h} \quad(\text{ou }0{,}04\times60=2{,}4\text{ min}=144\text{ s}).

Passo 4

Chame v_c a velocidade (constante) do trem de carga. A posição do rápido no instante t_{\rm stop} é exatamente d_{\rm stop}=2{,}0\text{ km}. A posição do carga é
s_{\rm carga}(t_{\rm stop}) = s_0 + v_c\,t_{\rm stop} =0{,}5 + v_c\,(0{,}04).
Na “quase-colisão” as duas posições coincidem no fim da frenagem, logo
2{,}0 = 0{,}5 + 0{,}04\,v_c \quad\Longrightarrow\quad v_c = \frac{2{,}0 - 0{,}5}{0{,}04} = \frac{1{,}5}{0{,}04} =37{,}5\text{ km/h}.

Passo 5

Esboço de s\times t:
— Eixo horizontal: tempo t (em horas).
— Eixo vertical: posição s (em km).
— Trem de carga (MRU): reta que parte de s=0{,}5 km em t=0 com inclinação v_c\approx37{,}5 km/h.
— Trem rápido (MRUV): curva iniciando em s=0, inclinação inicial 100 km/h, curvatura para baixo até atingir inclinação nula em t=0{,}04 h em s=2{,}0 km.
No caso limite, as duas curvas se encontram exatamente em \bigl(t=0{,}04\text{ h},\,s=2{,}0\text{ km}\bigr), caracterizando a “quase-colisão”.

Resposta

(a) No gráfico s\times t, o trem de carga aparece como uma reta de inclinação constante partindo de s=0{,}5 km, e o trem rápido como uma curva côncava para baixo partindo de s=0 com inclinação inicial maior, até parar em s=2{,}0 km no instante em que ambas as curvas se tocam.
(b) A velocidade mínima do trem de carga é 37{,}5\text{ km/h}.

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