Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar em que intervalos a função
é crescente ou decrescente. O conteúdo principal aqui é usar derivada e analisar o sinal de
. Como há valor absoluto, primeiro vamos reescrever
em partes (piecewise) e depois calcular
em cada parte.
Passo 2
Para lidar com
, dividimos em dois casos:
– Se
, então
e
Nesse caso a derivada é
– Se
, então
e
com derivada
Observe ainda que em
há quebra de derivada, pois a definição muda.
Passo 3
Encontramos os pontos onde
se anula em cada ramo:
– Para
:
– Para
:
Esses valores e o ponto
são os candidatos a mudanças de monotonicidade.
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada subintervalo:
– Em
, usamos
. Se
então
, logo
é decrescente ali.
– Em
, com
. Para
temos
, logo
é crescente nesse intervalo.
– Em
, agora
. Se
então
, logo
é decrescente aí.
– Em
, com
para
, logo
é crescente em
.
Passo 5
Concluímos, portanto, que:
–
é decrescente em
,
– é crescente em
,
– é decrescente em
,
– é crescente em
.
–
–
–
Resposta
A função
é
decrescente em ,
crescente em ,
decrescente em ,
crescente em .
decrescente em
crescente em
decrescente em
crescente em