Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=x^{2}-4|x|+3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar em que intervalos a função
f(x)=x^{2}-4\lvert x\rvert+3
é crescente ou decrescente. O conteúdo principal aqui é usar derivada e analisar o sinal de f'. Como há valor absoluto, primeiro vamos reescrever f em partes (piecewise) e depois calcular f' em cada parte.

Passo 2

Para lidar com \lvert x\rvert, dividimos em dois casos:
– Se x\ge0, então \lvert x\rvert=x e
f(x)=x^{2}-4x+3.
Nesse caso a derivada é
f'(x)=2x-4.
– Se x<0, então \lvert x\rvert=-x e
f(x)=x^{2}+4x+3,
com derivada
f'(x)=2x+4.
Observe ainda que em x=0 há quebra de derivada, pois a definição muda.

Passo 3

Encontramos os pontos onde f' se anula em cada ramo:
– Para x\ge0:
2x-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.
– Para x<0:
2x+4=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2.
Esses valores e o ponto x=0 são os candidatos a mudanças de monotonicidade.

Passo 4

Analisamos o sinal de f' em cada subintervalo:
– Em (-\infty,-2), usamos f'(x)=2x+4. Se x<-2 então 2x+4<0, logo f é decrescente ali.
– Em (-2,0), com f'(x)=2x+4. Para -2<x<0 temos 2x+4>0, logo f é crescente nesse intervalo.
– Em (0,2), agora f'(x)=2x-4. Se 0<x<2 então 2x-4<0, logo f é decrescente aí.
– Em (2,\infty), com f'(x)=2x-4>0 para x>2, logo f é crescente em (2,\infty).

Passo 5

Concluímos, portanto, que:
f é decrescente em (-\infty,-2),
f é crescente em (-2,0),
f é decrescente em (0,2),
f é crescente em (2,\infty).

Resposta

A função f(x)=x^{2}-4\lvert x\rvert+3 é
decrescente em (-\infty,-2),
crescente em (-2,0),
decrescente em (0,2),
crescente em (2,\infty).

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