Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=x^{2}-2 x+2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar os intervalos de monotonicidade da função
f(x)=x^{2}-2x+2.
O conteúdo envolvido é a derivada e o teste de sinal da derivada. Para resolver, vamos calcular f'(x), encontrar onde ela se anula e analisar o seu sinal em cada região do domínio (-\infty,\infty).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^{2}-2x+2, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)+\frac{d}{dx}(2) =2x-2+0 =2x-2.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
2x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Esse é o único ponto onde a derivada muda de sinal.

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'(x)=2x-2:
  • Se x<1, então 2x-2<0, logo f'(x)<0.
  • Se x>1, então 2x-2>0, logo f'(x)>0.

Resposta

A função f é estritamente decrescente em (-\infty,1) e estritamente crescente em (1,\infty).

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