Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=|x|+|2 x-1|.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de monotonicidade da função
f(x)=|x|+|2x-1|.
Para isso, vamos usar análise de função definida por partes e o cálculo de derivada em cada parte.

Passo 2

Identificamos os pontos onde cada valor absoluto muda de sinal:
\,x=0 faz x mudar de sinal e \,2x-1=0 x=\tfrac12.
Então o domínio se divide em três intervalos disjuntos:
(-\infty,0),\quad(0,\tfrac12),\quad(\tfrac12,\infty).
Em cada intervalo vamos reescrever f(x) como expressão linear.

Passo 3

Em cada caso substituímos os módulos por suas expressões:
  1. Para x<0:
    \,|x|=-x e |2x-1|=1-2x, logo f(x)=-x+(1-2x)=1-3x.
  2. Para 0\le x<\tfrac12:
    \,|x|=x e |2x-1|=1-2x, logo f(x)=x+(1-2x)=1-x.
  3. Para x\ge\tfrac12:
    \,|x|=x e |2x-1|=2x-1, logo f(x)=x+(2x-1)=3x-1.

Passo 4

Calculamos a derivada em cada parte (sendo a função linear):
  1. Em (-\infty,0):
    f'(x)=-3.
  2. Em (0,\tfrac12):
    f'(x)=-1.
  3. Em (\tfrac12,\infty):
    f'(x)=3.
Como f'(x)<0 em todo (-\infty,\tfrac12), f é estritamente decrescente nesse intervalo, e como f'(x)>0 em (\tfrac12,\infty), f é estritamente crescente aí.

Passo 5

Portanto, os intervalos de monotonicidade de f são:
  • decrescente em (-\infty,\tfrac12),
  • crescente em (\tfrac12,\infty).

Resposta

(-\infty,\tfrac12): decrescente
(\tfrac12,\infty): crescente

Exercícios relacionados