Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos de monotonicidade da função
Para isso, vamos usar análise de função definida por partes e o cálculo de derivada em cada parte.
Passo 2
Identificamos os pontos onde cada valor absoluto muda de sinal:
faz
mudar de sinal e
dá
.
Então o domínio se divide em três intervalos disjuntos:
Então o domínio se divide em três intervalos disjuntos:
Em cada intervalo vamos reescrever
como expressão linear.
Passo 3
Em cada caso substituímos os módulos por suas expressões:
- Para
:
e , logo - Para
:
e , logo - Para
:
e , logo
Passo 4
Calculamos a derivada em cada parte (sendo a função linear):
- Em
:
. - Em
:
. - Em
:
.
Como
em todo
,
é estritamente decrescente nesse intervalo, e como
em
,
é estritamente crescente aí.
Passo 5
Portanto, os intervalos de monotonicidade de
são:
- decrescente em
, - crescente em
.