Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\frac{x-1}{2-x}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar onde a função
f(x)=\frac{x-1}{2-x}
é crescente ou decrescente. O conteúdo principal envolvido é o cálculo da derivada e a análise do seu sinal.

Passo 2

Determinamos o domínio de f. Como o denominador 2-x não pode ser zero, o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 3

Calculamos a derivada por meio da regra do quociente. Seja u(x)=x-1 e v(x)=2-x. Então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(2-x)-(x-1)\cdot(-1)}{(2-x)^{2}}.

Passo 4

Simplificando o numerador, temos
1\cdot(2-x)-(x-1)\cdot(-1)=2-x+x-1=1,
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f'(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}}.
Como (2-x)^{2}>0 para todo x\neq2, segue que f'(x)>0 em todo o domínio. Assim, f é estritamente crescente onde está definida.

Resposta

A função f é estritamente crescente em (-\infty,2) e em (2,\infty).

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