Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=|2-3 x|.

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de monotonicidade de f(x)=\lvert 2-3x\rvert. Para isso, vamos usar que o valor absoluto gera uma função definida por partes, identificar o ponto onde o argumento muda de sinal e, em cada região, calcular a derivada para ver onde f é crescente ou decrescente.

Passo 2

Encontramos o ponto em que 2-3x=0, isto é,
2-3x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{2}{3}.
Logo, definimos f por partes:
f(x)= \begin{cases} 2-3x, & x<\tfrac{2}{3},\\\\ 3x-2, & x>\tfrac{2}{3}. \end{cases}

Passo 3

Em cada ramo, calculamos a derivada:
  • Para x<\tfrac{2}{3}, f(x)=2-3x implica
f'(x)=-3<0,
logo f é decrescente em (- \infty,\tfrac{2}{3}).
  • Para x>\tfrac{2}{3}, f(x)=3x-2 implica
f'(x)=3>0,
logo f é crescente em (\tfrac{2}{3},+\infty).

Resposta

f é
decrescente em (-\infty,\tfrac{2}{3})
e crescente em (\tfrac{2}{3},+\infty).

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