Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\left|x^{2}+4 x\right|.

Passo 1

O enunciado pede para estudar os intervalos de monotonicidade de
\,f(x)=\bigl|x^{2}+4x\bigr|.
Para isso, vamos usar dois ingredientes principais:
  1. Reescrever \,f como função definida por partes, dividindo o domínio onde o argumento da valor absoluto muda de sinal.
  2. Empregar o teste da derivada para verificar onde \,f'(x) é positiva (cresce) ou negativa (decresce).

Passo 2

Identificamos as raízes da expressão interna
x^{2}+4x = x\,(x+4)=0
que são \,x=-4 e \,x=0. Assim, o sinal de x^{2}+4x muda em -4 e 0, e devemos estudar os intervalos (-\infty,-4], (-4,0) e [0,\infty).

Passo 3

Reescrevemos f\) em cada um desses intervalos e calculamos a derivada: \[f(x)= \begin{cases} x^{2}+4x, & x\le -4,\\\\ -\bigl(x^{2}+4x\bigr), & -4< x<0,\\\ x^{2}+4x, & x\ge 0. \end{cases}
Em cada caso temos
Para x< -4\] ou \(x>0:
f'(x)=2x+4.
Para -4< x<0:
f'(x)=-\bigl(2x+4\bigr)=-2x-4.

Passo 4

Analisamos o sinal de f' em cada intervalo:
  1. Em (-\infty,-4): qualquer x<-4 satisfaz 2x+4<2(-4)+4=-4<0, logo f'(x)<0.
  2. Em (-4,0) dividimos em dois subtrechos pelo ponto onde 2x+4=0, ou seja x=-2:
    • Para -4<x<-2: tem-se 2x+4<0, mas f'(x)=-\,(2x+4)>0, então f cresce.
    • Para -2<x<0: tem-se 2x+4>0, então f'(x)=-\,(2x+4)<0, e f decresce.
  3. Em (0,\infty): qualquer x>0 satisfaz 2x+4>4>0, logo f'(x)>0 e f cresce.

Passo 5

Agrupando os resultados:
  • f é estritamente decrescente em \,(-\infty,-4] e também em [-2,0].
  • f é estritamente crescente em [-4,-2] e em [0,\infty).

Resposta

f decresce em (-\infty,-4] e em [-2,0] e cresce em [-4,-2] e em [0,\infty).

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