Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar os intervalos de monotonicidade de
.
Para isso, vamos usar dois ingredientes principais:
Para isso, vamos usar dois ingredientes principais:
- Reescrever
como função definida por partes, dividindo o domínio onde o argumento da valor absoluto muda de sinal. - Empregar o teste da derivada para verificar onde
é positiva (cresce) ou negativa (decresce).
Passo 2
Identificamos as raízes da expressão interna
que são
e
. Assim, o sinal de
muda em
e
, e devemos estudar os intervalos
,
e
.
Passo 3
Reescrevemos
Em cada caso temos
Para :
Para :
Para
:
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada intervalo:
- Em
: qualquer satisfaz , logo . - Em
dividimos em dois subtrechos pelo ponto onde , ou seja :- Para
: tem-se , mas , então cresce. - Para
: tem-se , então , e decresce.
- Para
- Em
: qualquer satisfaz , logo e cresce.
Passo 5
Agrupando os resultados:
-
é estritamente decrescente em e também em . -
é estritamente crescente em e em .