Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\left|x^{2}-3 x+2\right|.

Passo 1

O enunciado pede para estudar onde a função
f(x)=\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|
é crescente ou decrescente. Vamos usar a ideia de que o valor absoluto obriga a analisar separadamente onde o polinômio interno
x^{2}-3x+2
é não-negativo ou negativo, depois derivar em cada trecho e olhar o sinal da derivada.

Passo 2

Determinamos onde
g(x)=x^{2}-3x+2
é zero e seu sinal. As raízes satisfazem
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=1,2.
Como g é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, temos
g(x)\ge0\text{ para }x\le1\text{ ou }x\ge2, \qquad g(x)<0\text{ para }1<x<2.
Logo
f(x)= \begin{cases} g(x)=x^{2}-3x+2,&x\le1\text{ ou }x\ge2,\\\\ -g(x)=-x^{2}+3x-2,&1<x<2. \end{cases}

Passo 3

Calculamos a derivada em cada trecho:
  • Se x<1 ou x>2, f(x)=x^{2}-3x+2 e
f'(x)=2x-3.
  • Se 1<x<2, f(x)=-x^{2}+3x-2 e
f'(x)=-2x+3.

Passo 4

Analisamos o sinal de f' em cada intervalo:
  • Em (-\infty,1): 2x-3<2\cdot1-3=-1<0, logo f'<0.
  • Em (1,2): tem uma mudança em x=\tfrac32, pois
    -2x+3>0 se e só se x<\tfrac32.
    Portanto em (1,\tfrac32) temos f'>0 e em (\tfrac32,2) temos f'<0.
  • Em (2,\infty): 2x-3>2\cdot2-3=1>0, logo f'>0.

Passo 5

Concluímos que f é estritamente:
  • decrescente em (-\infty,1),
  • crescente em \bigl(1,\tfrac32\bigr),
  • decrescente em \bigl(\tfrac32,2\bigr),
  • crescente em (2,\infty).

Resposta

f é
decrescente em (-\infty,1),
crescente em \bigl(1,\tfrac32\bigr),
decrescente em \bigl(\tfrac32,2\bigr)
e crescente em (2,\infty).

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