Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=|2 x-1|.

Passo 1

O enunciado pede para estudar os intervalos de monotonicidade da função
f(x)=\lvert 2x-1\rvert.
O conteúdo principal aqui é a definição de valor absoluto e como escrevê-lo em forma piecewise para analisar onde a função cresce ou decresce.

Passo 2

Determinar o ponto em que o argumento do valor absoluto muda de sinal, resolvendo
2x-1=0
Logo, x=\tfrac12. Esse valor divide o domínio em dois intervalos a serem analisados.

Passo 3

Escrever f de modo piecewise:
para x<\tfrac12, temos 2x-1<0, então
f(x)=-(2x-1)=-2x+1,
e para x\ge\tfrac12, temos 2x-1\ge0, então
f(x)=2x-1.

Passo 4

Calcular a derivada em cada parte:
para x<\tfrac12:
f'(x)=-2<0,
logo f é estritamente decrescente em (-\infty,\tfrac12);
para x>\tfrac12:
f'(x)=2>0,
logo f é estritamente crescente em (\tfrac12,\infty).

Passo 5

No ponto x=\tfrac12 a derivada não existe (canto do “V”), marcando a troca de decrescimento para crescimento.

Resposta

f é estritamente decrescente em (-\infty,\tfrac12) e estritamente crescente em (\tfrac12,\infty).

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