4 Resolva as equações em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma PG. infinita:
a) 80 x+40 x+20 x+\ldots=320
b) x+\frac{x}{3}+\frac{x}{9}+\ldots=12
c) x^{2}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{8}+\ldots=6

Passo 1

O enunciado apresenta três equações cuja soma do primeiro membro é uma progressão geométrica infinita. O conteúdo usado será a fórmula da soma de uma PG infinita: se os termos formam uma PG de primeiro termo a_{1} e razão r com \lvert r\rvert<1, então
S=\frac{a_{1}}{1-r}.

Passo 2

Para a) os termos são
80x,\;40x,\;20x,\ldots
Aqui a_{1}=80x e r=\tfrac{40x}{80x}=\tfrac12 com \lvert r\rvert=\tfrac12<1. Logo
S=\frac{80x}{1-\tfrac12}=\frac{80x}{\tfrac12}=160x,
e a equação 160x=320
x=2.

Passo 3

Para b) os termos são
x,\;\frac{x}{3},\;\frac{x}{9},\ldots
Aqui a_{1}=x e r=\tfrac{1}{3} com \lvert r\rvert=\tfrac13<1. Logo
S=\frac{x}{1-\tfrac13}=\frac{x}{\tfrac23}=\frac{3x}{2},
e a equação \tfrac{3x}{2}=12
x=8.

Passo 4

Para c) os termos são
x^{2},\;-\frac{x^{2}}{2},\;\frac{x^{2}}{4},\;-\frac{x^{2}}{8},\ldots
Aqui a_{1}=x^{2} e r=-\tfrac12 com \lvert r\rvert=\tfrac12<1. Logo
S=\frac{x^{2}}{1-(-\tfrac12)}=\frac{x^{2}}{\tfrac32}=\frac{2x^{2}}{3},
e a equação \tfrac{2x^{2}}{3}=6 leva a
x^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad x=3\text{ ou }x=-3.

Resposta

(a) x=2
(b) x=8
(c) x=3 ou x=-3

Exercícios relacionados