Exercício 6. Um exame de múltipla escolha contém 10 questões. Há quatro respostas possíveis para cada questão. De quantas maneiras um estudante pode responder às questões do exame:
(a) Se ele responder a todas as questões?
(b) Se ele pode deixar respostas em branco?

Passo 1

O enunciado diz que temos um exame de múltipla escolha com 10 questões e 4 alternativas em cada questão. No item (a) o estudante deve responder todas as questões, e no item (b) ele pode também deixar em branco. Para resolver, vamos usar o Princípio Fundamental da Contagem (ou regra do produto): se há n etapas independentes e a etapa i tem a_i possibilidades, então o total é \prod_{i=1}^{n}a_i.

Passo 2

Para o item (a), cada uma das 10 questões deve receber uma das 4 alternativas. Como as escolhas são independentes, o número total de maneiras é
4 \times 4 \times \cdots \times 4
(com 10 fatores), isto é,
4^{10}.

Passo 3

Para o item (b), além das 4 alternativas em cada questão, o estudante pode optar por deixar em branco, totalizando 4 + 1 = 5 opções por questão. Novamente as escolhas são independentes, então o total de maneiras é
5 \times 5 \times \cdots \times 5
(com 10 fatores), ou seja,
5^{10}.

Resposta

(a) 4^{10}
(b) 5^{10}

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