Exercício 5)

Example 6.4 Simple harmonic motion

A particle of mass m is projected from the point x=a with speed u and moves along the x-axis under the SHM force field F=-m \omega^{2} x. Find the maximum distance from O and the maximum speed achieved by the particle in the subsequent motion.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m lançada a partir de x=a com velocidade inicial u, submetida a uma força de movimento harmônico simples
F=-m\,\omega^{2}x.
Queremos encontrar a distância máxima em relação à origem O (ou seja, a amplitude do movimento) e a velocidade máxima atingida. Para isso, vamos usar a equação de movimento de um SHM e impor as condições iniciais.

Passo 2

A equação de movimento para SHM é
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + m\,\omega^{2}x = 0,
cuja solução geral é
x(t) = C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t).
A velocidade é
v(t) = \frac{dx}{dt} = -C\,\omega\sin(\omega t) + D\,\omega\cos(\omega t).

Passo 3

Aplicando as condições iniciais em t=0: x(0)=a implica
C = a,
e v(0)=u implica
u = D\,\omega \quad\Longrightarrow\quad D = \frac{u}{\omega}.
Logo
x(t) = a\cos(\omega t) + \frac{u}{\omega}\sin(\omega t).

Passo 4

Em um SHM escrito como x(t)=A\cos(\omega t-\varphi), a amplitude A satisfaz
A = \sqrt{C^{2}+D^{2}} = \sqrt{\,a^{2} + \Bigl(\frac{u}{\omega}\Bigr)^{2}\,}.
Portanto, a distância máxima da origem é
\boxed{A = \sqrt{a^{2} + \frac{u^{2}}{\omega^{2}}}.}
A velocidade máxima ocorre em x=0, e vale
v_{\max} = \omega\,A = \omega\,\sqrt{a^{2} + \frac{u^{2}}{\omega^{2}}} = \sqrt{a^{2}\,\omega^{2} + u^{2}}.

Resposta

A distância máxima é
\sqrt{a^{2} + \frac{u^{2}}{\omega^{2}}}
e a velocidade máxima é \sqrt{a^{2}\,\omega^{2} + u^{2}}.

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