Exercício 4)

Example 6.3 Rectilinear motion under uniform gravity

A particle P is projected vertically upwards with speed u and moves under uniform gravity. Find the maximum height achieved and the speed of P when it returns to its starting point.

Passo 1

O enunciado trata do movimento retilíneo vertical de uma partícula P lançada para cima com velocidade inicial u e sujeita à gravidade uniforme g (para baixo). Vamos escolher como direção positiva o sentido para cima, de modo que a aceleração seja constante e valha a=-g. Para resolver, usaremos as equações cinemáticas:
v = u + at
v^{2} = u^{2} + 2a\Delta s
onde v é a velocidade num tempo t, e \Delta s o deslocamento.

Passo 2

Para achar a altura máxima H, note que nesse ponto a velocidade instantânea é zero v=0. Usando
v^{2} = u^{2} + 2a\,\Delta s
com v=0, a=-g e \Delta s=H, temos
0 = u^{2} + 2(-g)\,H
u^{2} = 2g\,H
logo
H = \frac{u^{2}}{2g}.

Passo 3

Para encontrar a velocidade ao retornar ao ponto de lançamento, podemos usar a simetria do movimento ou calcular o tempo total. Pelo primeiro método, o movimento de subida e descida é simétrico, de modo que a velocidade de descida ao passar pela mesma altura inicial tem mesmo módulo de u, mas sentido para baixo. Alternativamente, usando
v = u + at,
o tempo de subida até v=0 é t_{\text{subida}}=u/g, então o tempo total de ida e volta é
t_{\text{total}} = 2\,\frac{u}{g}.
Substituindo em v = u - g\,t_{\text{total}},
v = u - g\left(2\,\frac{u}{g}\right) = -u.
O sinal negativo indica que P está voltando para baixo com módulo de velocidade igual a u.

Resposta

A altura máxima é
H = \frac{u^{2}}{2g},
e a velocidade com que P retorna ao ponto de partida tem módulo
\lvert v\rvert = u.

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