Exercício 1)

EXAMPLE 4.2 Potential Energy of a Charge in a Uniform Electric Field

A charge q is placed in a uniform electric field pointing in the x direction with strength E_{\mathrm{o}}, so that the force on q is \mathbf{F}=q \mathbf{E}=q E_{\mathrm{o}} \hat{\mathbf{x}}. Show that this force is conservative and find the corresponding potential energy.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma carga q num campo elétrico uniforme de intensidade E_{0} na direção x, de modo que
\mathbf{F} = q\,\mathbf{E} = q\,E_{0}\,\hat{\mathbf{x}}.
O objetivo é mostrar que essa força é conservativa e, em seguida, encontrar a energia potencial associada. Para isso vamos usar dois resultados clássicos de mecânica: (i) um campo de força é conservativo se o seu rotacional é nulo, \nabla\times\mathbf{F}=0; (ii) para uma força conservativa vale
\mathbf{F}=-\nabla U,
o que nos permite obter U.

Passo 2

Mostramos que \mathbf{F} é conservativa calculando o rotacional em coordenadas cartesianas. Como
F_{x}=qE_{0},\quad F_{y}=0,\quad F_{z}=0,
temos
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z}\\\ qE_{0} & 0 & 0 \end{vmatrix} =\bigl(0,0,0\bigr).
Logo \nabla\times\mathbf{F}=0, e \mathbf{F} é conservativa.

Passo 3

Para encontrar U, usamos a relação \mathbf{F}=-\nabla U. Como \mathbf{F} só tem componente em x, basta integrar
-\frac{\partial U}{\partial x}=qE_{0},
enquanto -\partial U/\partial y=0 e -\partial U/\partial z=0 apenas confirmam que U não depende de y nem de z. Integrando em x:
\frac{\partial U}{\partial x}=-qE_{0} \quad\Longrightarrow\quad U(x)=-qE_{0}\,x + C,
onde C é uma constante de integração (determinação do zero de energia).

Resposta

A força \mathbf{F}=qE_{0}\hat{\mathbf{x}} é conservativa e a energia potencial pode ser escolhida como
U(x)=-qE_{0}\,x + C.

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