Questão 04

Um disco de massa 0,30 \mathrm{~kg} e raio 0,40 \mathrm{~m}, gira em torno de um eixo vertical que passa pelo centro de massa com velocidade angular 3,5 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Um pedaço de massa de modelar de massa 0,040 \mathrm{~kg} cai verticalmente e gruda na borda do disco. Determine a velocidade angular do disco imediatamente após a massa cair. (Trate o movimento dos corpos como um aro fino que gira em torno de seu eixo central)

Passo 1

O enunciado descreve um disco de massa m_1=0,30,kg e raio R=0,40,m girando com velocidade angular inicial \omega_i=3{,}5\pi,rad/s. Em seguida, uma massa de modelar m_2=0,040,kg cai e gruda na borda do disco. O conteúdo aqui é a conservação do momento angular em um sistema de rotação, e vamos tratar tanto o disco como a massa de modelar como “aros finos” para efeitos de momento de inércia, isto é, I=mR^2.

Passo 2

Antes de a massa grudar, o momento de inércia do sistema (só o disco) é
I_i = m_1 R^2.

Passo 3

Depois que a massa de modelar gruda na borda, ela contribui com momento de inércia
I_2 = m_2 R^2,
logo o momento de inércia total final é
I_f = I_i + I_2 = m_1 R^2 + m_2 R^2 = (m_1 + m_2)\,R^2.

Passo 4

Pela conservação do momento angular, temos
I_i\,\omega_i \;=\; I_f\,\omega_f.
Desse modo, a velocidade angular final \omega_f satisfaz
\omega_f = \frac{I_i}{I_f}\,\omega_i = \frac{m_1 R^2}{(m_1 + m_2)\,R^2}\,\omega_i = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\,\omega_i.

Passo 5

Substituindo m_1=0{,}30,kg, m_2=0{,}040,kg e \omega_i=3{,}5\pi,rad/s,
\omega_f = \frac{0{,}30}{0{,}30 + 0{,}040}\times 3{,}5\pi = \frac{0{,}30}{0{,}34}\times 3{,}5\pi \approx 3{,}0882\,\pi\\ \text{rad/s} \approx 9{,}70\\ \text{rad/s}.

Resposta

A velocidade angular imediatamente após a massa grudar é aproximadamente
\omega_f \approx 9{,}70\\ \text{rad/s} \quad\bigl(\approx 3{,}09\pi\\ \text{rad/s}\bigr).

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