Exercício 7. Dê um exemplo de função que:
seja descontínua nos pontos -1,0 e 1 .

Passo 1

O enunciado pede: “Dê um exemplo de função que seja descontínua nos pontos -1, 0 e 1.”
Informações relevantes: precisamos apresentar uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} (ou definida em todo o eixo real) e garantir que ela não seja contínua justamente nos pontos -1, 0 e 1. Não há outras restrições dadas pelo enunciado.

Passo 2

Primeiro vou propor uma função simples, construída por partes (peça a peça). A ideia é fazer saltos (jump) nessas três aberturas para forçar descontinuidade. Defino
f(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] 1, & -1\le x<0,\\[4pt] 0, & 0\le x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}
Essa função só assume os valores 0 ou 1 e troca de valor exatamente em x=-1, x=0 e x=1. Agora vamos verificar, passo a passo, que ela é de fato descontínua nesses três pontos.]

Passo 3

Lembrete teórico (curto e prático): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para verificar continuidade em pontos onde a função muda de definição, é útil usar limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) (aproximação pela esquerda) e \lim_{x\to a^+} f(x) (pela direita). Se as duas existirem e coincidirem, essa é \lim_{x\to a} f(x). Se as laterais existirem mas forem diferentes, temos uma descontinuidade do tipo salto (jump), ou seja, a função não é contínua em a.

Passo 4

Verificação em x=-1.
  • Aproximando por valores menores que -1 (pela esquerda), usamos a parte x<-1, onde f(x)=0. Então
\lim_{x\to -1^-} f(x)=0.
  • Aproximando por valores maiores que -1 (pela direita), usamos a parte -1\le x<0, onde f(x)=1. Então
\lim_{x\to -1^+} f(x)=1.
Como 0\neq 1, os limites laterais são diferentes, logo \lim_{x\to -1} f(x) não existe. Portanto f é descontínua em -1. (Note também que f(-1)=1, mas isso não ajuda — a condição de continuidade falha porque o limite não existe.)

Passo 5

Verificação em x=0.
  • Pela esquerda ( x<0 próximo de 0), estamos na sub-região -1\le x<0 com f(x)=1. Assim
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1.
  • Pela direita ( x>0 próximo de 0), estamos na sub-região 0\le x<1 com f(x)=0. Assim
\lim_{x\to 0^+} f(x)=0.
Como 1\neq 0, os limites laterais são diferentes, logo \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Portanto f é descontínua em 0. (Aqui f(0)=0, novamente o valor no ponto não compensa a falta de limite.)

Passo 6

Verificação em x=1.
  • Pela esquerda ( x<1 próximo de 1), usamos 0\le x<1 com f(x)=0. Logo
\lim_{x\to 1^-} f(x)=0.
  • Pela direita ( x>1 próximo de 1), usamos x\ge 1 com f(x)=1. Logo
\lim_{x\to 1^+} f(x)=1.
Como 0\neq 1, os limites laterais são diferentes, então \lim_{x\to 1} f(x) não existe. Portanto f é descontínua em 1. (Aqui f(1)=1.)

Passo 7

Verificação rápida fora desses pontos: para qualquer a\notin\{-1,0,1\} existe um pequeno intervalo aberto contendo a em que f é constante (ou seja, igual a 0 ou igual a 1), porque nossa função é peça-por-peça constante entre as fronteiras -1, 0 e 1. Funções constantes são contínuas em todos os pontos do seu domínio, então f é contínua em todo a\notin\{-1,0,1\}.

Passo 8

Conclusão: a função definida no Passo 2 tem saltos justamente em -1, 0 e 1, portanto é um exemplo válido que responde ao enunciado.

Resposta

f(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] 1, & -1\le x<0,\\[4pt] 0, & 0\le x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}]

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