Exercício 1. De um exemplo de número que seja:
Real, mas não racional.

Passo 1

O enunciado pede claramente: dar um exemplo de um número que seja real, mas que não seja racional.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: nenhuma adicional — só a exigência acima.

Passo 2

Vou propor como exemplo o número \sqrt{2}. Primeiro vou justificar de maneira simples por que \sqrt{2} é um número real.
Definição prática: números reais são os números que aparecem na reta numérica e podem ser escritos por uma expansão decimal. A raiz quadrada de 2 é o número positivo que satisfa a equação x^{2}=2. Esse número tem expansão decimal \,1{,}4142\ldots, portanto corresponde a um ponto na reta numérica e é, por isso, um número real. Assim \sqrt{2} é real.

Passo 3

Agora defino o que significa ser racional e irracional (para não pular etapas):
  • Um número r é racional se e somente se existe um par de inteiros p e q com q\neq 0 tal que r=\dfrac{p}{q}.
  • Um número é irracional se for real e não puder ser escrito nessa forma \dfrac{p}{q}.
O objetivo agora é mostrar que \sqrt{2} não pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0. Ou seja, provar que \sqrt{2} é irracional.

Passo 4

Prova por contradição (método clássico, passo a passo): suponha o contrário, isto é, suponha que \sqrt{2} seja racional. Então existem inteiros p e q com q\neq0 tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q},
e podemos assumir que a fração \dfrac{p}{q} está na forma irredutível (isto é, \gcd(p,q)=1; os inteiros p e q não têm divisor comum além de 1). Isso é permitido porque, se houver uma representação como fração, existe uma em que o numerador e denominador são coprimos.
Elevo os dois lados ao quadrado:
2=\frac{p^{2}}{q^{2}}.
Multiplicando por q^{2} obtemos
2q^{2}=p^{2}.

Passo 5

Análise de paridade (par = divisível por 2, ímpar = não divisível por 2): da igualdade 2q^{2}=p^{2} segue que p^{2} é par (porque é igual a 2 vezes um inteiro). Se p^{2} é par, então p também é par (pois o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar). Logo existe um inteiro k tal que
p=2k.
Substituindo na igualdade 2q^{2}=p^{2}
2q^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}.
Dividindo por 2 obtemos
q^{2}=2k^{2}.
Isto mostra que q^{2} é par, e portanto q também é par.
Portanto tanto p quanto q são pares. Mas isso contradiz a hipótese de que \gcd(p,q)=1 (se ambos são pares, têm pelo menos o divisor 2 em comum). Essa contradição vem da suposição inicial de que \sqrt{2} era racional.

Passo 6

Como a suposição leva a uma contradição, concluímos que a suposição é falsa. Logo \sqrt{2} não é racional; isto é, \sqrt{2} é um número real e irracional. (Como comentário extra: existem muitos outros exemplos de números reais irracionais, por exemplo \pi e e, mas as provas de irracionalidade deles são mais avançadas.)

Resposta

\sqrt{2}

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