Exercício 1. De um exemplo de número que seja:
Real, mas não racional.
Real, mas não racional.
Passo 1
O enunciado pede claramente: dar um exemplo de um número que seja real, mas que não seja racional.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: nenhuma adicional — só a exigência acima.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: nenhuma adicional — só a exigência acima.
Passo 2
Vou propor como exemplo o número
. Primeiro vou justificar de maneira simples por que
é um número real.
Definição prática: números reais são os números que aparecem na reta numérica e podem ser escritos por uma expansão decimal. A raiz quadrada de é o número positivo que satisfa a equação
. Esse número tem expansão decimal
, portanto corresponde a um ponto na reta numérica e é, por isso, um número real. Assim
é real.
Definição prática: números reais são os números que aparecem na reta numérica e podem ser escritos por uma expansão decimal. A raiz quadrada de
Passo 3
Agora defino o que significa ser racional e irracional (para não pular etapas):
- Um número
é racional se e somente se existe um par de inteiros e com tal que . - Um número é irracional se for real e não puder ser escrito nessa forma
.
O objetivo agora é mostrar que
não pode ser escrito como
com
,
. Ou seja, provar que
é irracional.
Passo 4
Prova por contradição (método clássico, passo a passo): suponha o contrário, isto é, suponha que
seja racional. Então existem inteiros
e
com
tais que
e podemos assumir que a fração
está na forma irredutível (isto é,
; os inteiros
e
não têm divisor comum além de
). Isso é permitido porque, se houver uma representação como fração, existe uma em que o numerador e denominador são coprimos.
Elevo os dois lados ao quadrado:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Análise de paridade (par = divisível por
, ímpar = não divisível por
): da igualdade
segue que
é par (porque é igual a
vezes um inteiro). Se
é par, então
também é par (pois o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar). Logo existe um inteiro
tal que
Substituindo na igualdade
dá
Dividindo por
obtemos
Isto mostra que
é par, e portanto
também é par.
Portanto tanto
quanto
são pares. Mas isso contradiz a hipótese de que
(se ambos são pares, têm pelo menos o divisor
em comum). Essa contradição vem da suposição inicial de que
era racional.
Passo 6
Como a suposição leva a uma contradição, concluímos que a suposição é falsa. Logo
não é racional; isto é,
é um número real e irracional. (Como comentário extra: existem muitos outros exemplos de números reais irracionais, por exemplo
e
, mas as provas de irracionalidade deles são mais avançadas.)