5^{\mathrm{a}} Questão ( 3,2 pontos): Determine, justificando:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{3 n}}{\left(n^{2}+n\right)^{n}} converge ou diverge (1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n^{3n}}{(n^{2}+n)^{n}}
converge ou diverge. Vamos usar o teste da convergência necessária (o termo geral tem de tender a zero) e, para ver isso, estudar o módulo do termo geral.

Passo 2

Chame
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{n^{3n}}{(n^{2}+n)^{n}},
então
|a_{n}|=\frac{n^{3n}}{(n^{2}+n)^{n}} =\Bigl(\frac{n^{3}}{n(n+1)}\Bigr)^{n} =\Bigl(\frac{n^{2}}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Note que
\frac{n^{2}}{n+1} =\frac{n}{1+\tfrac1n} \to\infty \quad\text{quando }n\to\infty.
Como a base desse poder tende a infinito, o próprio termo
|a_{n}|=\Bigl(\tfrac{n^{2}}{n+1}\Bigr)^{n}
vai para infinito, em particular não tende a zero.

Passo 4

Uma condição necessária para a convergência de qualquer série \sum a_{n} é \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Aqui \lim_{n\to\infty}|a_{n}|=\infty\neq0, logo o termo geral não satisfaz essa condição.

Resposta

A série diverge.

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