Exercício 2

Um dos exemplos em que medir diretamente uma grandeza pode ser difícil é quando devemos medir o diâmetro de algum objeto circular. Em casos assim, não basta apenas ter um bom instrumento de medida.
Como objeto a ser medido, utilize uma moeda do nosso dinheiro (Real) e, como instrumento de medida, uma régua graduada em milímetros. Faça dez medias do diâmetro, utilizando posições variadas, e anote os resultados. Determine o valor médio do diâmetro e sua incerteza. Por fim, escreva o diâmetro da forma correta.
Moeda utilizada:
|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| hline $D1$ & $D2$ & $D3$ & $D4$ & $D5$ & $D6$ & $D7$ & $D8$ & $D9$ & $D10$ hline & & & & & & & & & hline

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa medir o diâmetro de uma moeda brasileira usando uma régua em milímetros. Vamos fazer isso em dez posições diferentes, anotar os resultados, calcular a média e a incerteza desse diâmetro. Para isso, vamos usar conceitos de medidas e incertezas, que são bem importantes em experimentos práticos.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que fizemos as dez medições do diâmetro da moeda em posições variadas. Vou gerar alguns valores fictícios para facilitar a explicação:
|c|c| hline Medida & D (mm) hline D1 & 19,0 D2 & 19,2 D3 & 18,9 D4 & 19,1 D5 & 19,0 D6 & 19,3 D7 & 18,8 D8 & 19,1 D9 & 19,0 D10 & 19,2 hline

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor médio do diâmetro. Para isso, somamos todas as medições e dividimos pelo número total de medições. A fórmula da média ( D) é:
D = D1 + D2 + dots + D1010
Fazendo os cálculos:
D = 19,0 + 19,2 + 18,9 + 19,1 + 19,0 + 19,3 + 18,8 + 19,1 + 19,0 + 19,210 = 190,610 = 19,06 mm

Passo 4

Agora, vamos determinar a incerteza das nossas medições. Uma maneira simples de fazer isso é calcular o desvio padrão, que nos mostra o quanto as medições variam em relação à média. A fórmula do desvio padrão ( s) para uma amostra é:
s = raizsum (Di - D)^2n - 1
Onde Di são as medições e n é o número de medições.
Primeiro, vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(19,0 - 19,06)^2 &= ( -0,06 )^2 = 0,0036 (19,2 - 19,06)^2 &= 0,14^2 = 0,0196 (18,9 - 19,06)^2 &= ( -0,16 )^2 = 0,0256 (19,1 - 19,06)^2 &= 0,04^2 = 0,0016 (19,0 - 19,06)^2 &= (-0,06)^2 = 0,0036 (19,3 - 19,06)^2 &= 0,24^2 = 0,0576 (18,8 - 19,06)^2 &= (-0,26)^2 = 0,0676 (19,1 - 19,06)^2 &= 0,04^2 = 0,0016 (19,0 - 19,06)^2 &= (-0,06)^2 = 0,0036 (19,2 - 19,06)^2 &= 0,14^2 = 0,0196
Somando esses valores:
0,0036 + 0,0196 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0036 + 0,0576 + 0,0676 + 0,0016 + 0,0036 + 0,0196 = 0,2112
Agora, dividimos pela quantidade de medições menos um ( n - 1 = 9):
s = raiz0,21129 = raiz0,023466 approx 0,153 mm

Passo 5

Por fim, vamos expressar o diâmetro com a incerteza. Geralmente, arredondamos a incerteza para uma casa decimal e ajustamos a média para o mesmo número de casas decimais. Assim:
  • Média: 19,06 mm ≈ 19,1 mm
  • Incerteza: 0,15 mm ≈ 0,2 mm
Portanto, o diâmetro da moeda fica:
19,1 pm 0,2 mm

Resposta

O diâmetro da moeda é 19,1 pm 0,2 mm.

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