Exercício 5. Expanda:
(x+1)(x+2)(x+3)

Passo 1

O enunciado dá o produto dos três binômios (x+1)(x+2)(x+3) e pede para expandir — isto é, escrever esse produto como um polinômio em potência monômios de x somados.
Informações dadas:
  • Os fatores são (x+1), (x+2) e (x+3).
    O que se pede:
  • Encontrar explicitamente o polinômio obtido ao multiplicar esses três fatores.

Passo 2

Estratégia escolhida (método básico e seguro): multiplicar dois fatores primeiro e depois multiplicar o resultado pelo terceiro fator. Vou usar a propriedade distributiva passo a passo (para dois binômios isso equivale ao método FOIL: First, Outer, Inner, Last). Explico a propriedade distributiva: para quaisquer expressões A,B,C vale
(A+B)C = AC + BC,
ou, de forma análoga,
(A+B)(C+D)=A(C+D)+B(C+D)=AC+AD+BC+BD.
Aqui isso nos permite expandir (x+1)(x+2) aplicando os produtos de cada termo com cada termo do outro binômio.

Passo 3

Multiplicar os dois primeiros binômios (x+1)(x+2) usando FOIL (cada termo de um com cada termo do outro):
  • First: x\cdot x = x^2.
  • Outer: x\cdot 2 = 2x.
  • Inner: 1\cdot x = x.
  • Last: 1\cdot 2 = 2.
Somando esses resultados obtemos
(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2.
Agora combino os termos semelhantes 2x+x:
x^2+2x+x+2 = x^2+3x+2.
Portanto
(x+1)(x+2)=x^2+3x+2.

Passo 4

Agora multiplico o resultado pelo terceiro fator (x+3), ou seja, calculo (x^2+3x+2)(x+3). Uso a distributiva: multiplicar cada termo do polinômio pela soma x+3 (ou seja, multiplicar tudo por x e depois por 3 e somar):
  • Multiplicando por x: x\cdot(x^2+3x+2)=x^3+3x^2+2x.
  • Multiplicando por 3: 3\cdot(x^2+3x+2)=3x^2+9x+6.
Agora somo essas duas parcelas:
x^3+3x^2+2x \;+\; 3x^2+9x+6.

Passo 5

Combino os termos semelhantes da soma anterior:
  • Termo de grau 3: x^3.
  • Termos de grau 2: 3x^2+3x^2=6x^2.
  • Termos de grau 1: 2x+9x=11x.
  • Termo constante: 6.
Portanto o polinômio expandido é
x^3+6x^2+11x+6.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança na prova): avaliar ambos os lados em um valor simples, por exemplo x=0. No produto original (0+1)(0+2)(0+3)=1\cdot2\cdot3=6. No polinômio obtido 0^3+6\cdot0^2+11\cdot0+6=6. Concorda, então a expansão está consistente.

Passo 7

Observação alternativa (fórmula útil para lembrar e acelerar na prova): para três fatores do tipo (x+a)(x+b)(x+c) a expansão geral é
(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x+abc.
Aqui a=1, b=2, c=3. Calculando:
a+b+c=1+2+3=6,\quad ab+ac+bc=1\cdot2+1\cdot3+2\cdot3=2+3+6=11,\quad abc=1\cdot2\cdot3=6,
levando ao mesmo resultado x^3+6x^2+11x+6. Essa fórmula é especialmente prática quando os termos constantes são números pequenos.

Resposta

x^3+6x^2+11x+6

Exercícios relacionados