Exercício 5. Expanda:
Passo 1
O enunciado dá o produto dos três binômios
e pede para expandir — isto é, escrever esse produto como um polinômio em potência monômios de
somados.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os fatores são
, e .
O que se pede: - Encontrar explicitamente o polinômio obtido ao multiplicar esses três fatores.
Passo 2
Estratégia escolhida (método básico e seguro): multiplicar dois fatores primeiro e depois multiplicar o resultado pelo terceiro fator. Vou usar a propriedade distributiva passo a passo (para dois binômios isso equivale ao método FOIL: First, Outer, Inner, Last). Explico a propriedade distributiva: para quaisquer expressões
vale
ou, de forma análoga,
Aqui isso nos permite expandir
aplicando os produtos de cada termo com cada termo do outro binômio.
Passo 3
Multiplicar os dois primeiros binômios
usando FOIL (cada termo de um com cada termo do outro):
- First:
. - Outer:
. - Inner:
. - Last:
.
Somando esses resultados obtemos
Agora combino os termos semelhantes
:
Portanto
Passo 4
Agora multiplico o resultado pelo terceiro fator
, ou seja, calculo
. Uso a distributiva: multiplicar cada termo do polinômio pela soma
(ou seja, multiplicar tudo por
e depois por
e somar):
- Multiplicando por
: - Multiplicando por
:
Agora somo essas duas parcelas:
Passo 5
Combino os termos semelhantes da soma anterior:
- Termo de grau
: . - Termos de grau
: . - Termos de grau
: . - Termo constante:
.
Portanto o polinômio expandido é
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança na prova): avaliar ambos os lados em um valor simples, por exemplo
. No produto original
. No polinômio obtido
. Concorda, então a expansão está consistente.
Passo 7
Observação alternativa (fórmula útil para lembrar e acelerar na prova): para três fatores do tipo
a expansão geral é
Aqui
,
,
. Calculando:
levando ao mesmo resultado
. Essa fórmula é especialmente prática quando os termos constantes são números pequenos.