Exercício 5. Expanda:
(y-3)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão (y-3)^{2}.
Informação dada: a expressão é o quadrado de um binômio, ou seja, significa multiplicar o binômio por ele mesmo.

Passo 2

Escrever o quadrado como produto para começar a expansão:
(y-3)^{2} = (y-3)(y-3).
Isto deixa claro que vamos multiplicar o primeiro parêntese pelo segundo.

Passo 3

Relembrando a propriedade distributiva (ou método FOIL para binômios): ao multiplicar (a+b)(c+d) calcula-se os produtos entre cada termo do primeiro e cada termo do segundo e soma-se:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Aqui a, b, c, d são quaisquer termos; no nosso caso cada parêntese tem dois termos: y e -3.

Passo 4

Aplicando a propriedade termo a termo em (y-3)(y-3) (vou calcular cada produto separadamente):
\begin{aligned} y\cdot y &= y^{2},\\[4pt] y\cdot(-3) &= -3y,\\[4pt] (-3)\cdot y &= -3y,\\[4pt] (-3)\cdot(-3) &= 9. \end{aligned}
Agora somamos todos esses termos.]

Passo 5

Somando os quatro termos obtidos:
y^{2} + (-3y) + (-3y) + 9 = y^{2} -3y -3y + 9.
Agrupando os termos semelhantes (os termos em y):
-3y -3y = -6y,
portanto
y^{2} -3y -3y +9 = y^{2} -6y +9.

Passo 6

Método alternativo (fórmula padrão) — atalho útil na prova: para quaisquer a e b vale
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui a=y e b=3. Substituindo:
(y-3)^{2}=y^{2}-2\cdot y\cdot 3 + 3^{2}=y^{2}-6y+9,
o que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 7

Verificação numérica rápida (checagem): escolher y=5 e comparar os dois lados.
\text{Lado esquerdo: }(5-3)^{2}=2^{2}=4.
\text{Lado direito: }5^{2}-6\cdot5+9=25-30+9=4.
Ambos dão 4, então a expansão está consistente.

Resposta

y^{2}-6y+9

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